Субгармоническая функция

Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи и класс гармонических функций.

Определение

Непрерывная функция , заданная в точках произвольной -мерной области пространства , называется субгармонической, если, каким бы ни был шар с центром в точке , принадлежащий вместе со своей границей области , справедливо неравенство , и супергармонической, если .[1]

Основные свойства

  1.  — гармоническая функция, только если она одновременно является суб- и супергармонической.
  2. Если  — открытое множество и ( — класс дважды непрерывно дифференцируемых на функций), то для субгармоничности необходимо и достаточно выполнение на условия ( — оператор Лапласа).
  3. Субгармоническая функция не может достигать своего максимума внутри области своей субгармоничности (сравните с принципом максимума для аналитических функций). Если максимум все же достигается, то функция тождественно равна постоянной.

Свойства

  • Для любой аналитической функции определённой на открытом множестве комплексной плоскости, функция
является субгармонической.

См. также

Примечания

  1. Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций. — М.: Наука, 1968.


Литература

  • Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. — М.: Мир, 1980. — 304 с.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 432 с.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2-х томах. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. — 720 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.