Связность Леви-Чивиты

Связность Леви-Чивиты есть аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии ${\displaystyle M}$, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.

То есть аффинная связность ${\displaystyle \nabla }$ на римановом многообразии ${\displaystyle (M,\;g)}$ называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:

1. (римановость) для любых векторных полей ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ верно
        ${\displaystyle X(g(Y,\;Z))=g(\nabla _{X}Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla _{X}Z)}$,
   где ${\displaystyle X(g(Y,\;Z))}$ обозначает производную ${\displaystyle g(Y,Z)}$ в направлении ${\displaystyle X}$.
2. (отсутствие кручения) для любых векторных полей ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$
        ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,\;Y]=0}$,
   где ${\displaystyle [X,\;Y]}$ — скобки Ли векторных полей ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$.

• Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.

• Метрическая связность
• Параллельное перенесение
• Символы Кристоффеля

• Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.