Параллельное перенесение

Параллельное перенесение — изоморфизм слоёв над концами кусочно гладкой кривой базы гладкого расслоения $\eta :E\to B$ , определяемый некоторой заданной связностью на $E$ . В частности, линейный изоморфизм касательных пространств $T_{\gamma (0)}(M)$ и $T_{\gamma (1)}(M)$ , определяемый вдоль кривой $\gamma \in M$ некоторой заданной на $M$ аффинной связностью.

Параллельное перенесение вектора по замкнутому контуру на сфере. Угол

\alpha

пропорционален площади внутри контура.

Параллельное перенесение по аффинной связности

Пусть на гладком многообразии $M$ задана аффинная связность. Говорят, что вектор $X_{1}\in T_{\gamma (1)}(M)$ получен параллельным перенесением из вектора $X_{0}\in T_{\gamma (0)}(M)$ вдоль не имеющей самопересечений гладкой кривой ${\displaystyle \gamma$ , если в окрестности этой кривой существует гладкое векторное поле $X$ со следующими свойствами:

выполняются равенства $X(\gamma (0))=X_{0}$ и $X(\gamma (1))=X_{1}$ ;
для любого значения $t\in [0,1]$ выполняется равенство $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0$ , где символ $\nabla$ обозначает ковариантную производную, а ${\dot {\gamma }}(t)$ есть вектор скорости $\gamma$ .

Замечание. Так как в локальных координатах справедливо равенство:

(\nabla _{\dot {\gamma }}X)^{i}={\frac {d}{dt}}X^{i}+\Gamma _{jk}^{i}\cdot X^{j}{\dot {\gamma }}^{k}

,

и в этом выражении нет частных производных от компонент вектора $X$ , в определении параллельного перенесения не обязательно требовать, чтобы векторное поле $X$ было определено в целой окрестности пути $\gamma (t)$ , достаточно, чтобы оно существовало и было гладким вдоль одного только этого пути.

Параллельный перенос вдоль кусочно гладкой кривой (включая кривые с самопересечениями) определяется как суперпозиция параллельных переносов вдоль её не имеющих самопересечений гладких кусков.

На основе понятия параллельного переноса вектора определяются понятия параллельного переноса тензора произвольной валентности.

Свойства параллельного перенесения векторов

Согласно теории обыкновенных дифференциальных уравнений, решение задачи Коши произвольного линейного ОДУ продолжается неограниченно вдоль любой гладкой кривой, поэтому задавая вектор в начальной точке и указывая путь параллельного перенесения, этот вектор однозначно переносится в любую точку этого пути.
При перенесении векторов вдоль одного и того же пути сохраняются все линейные соотношения между ними.
Перенесение векторов обратимо: достаточно конечные вектора перенести вдоль обратного пути, чтобы получились исходные вектора.
Как следствие двух предыдущих свойств получается, что оператор параллельного переноса вдоль кривой $\gamma$ представляет собой линейный изоморфизм пространств $T_{\gamma (0)}(M)$ и $T_{\gamma (1)}(M)$ .
Если аффинная связность согласована с метрическим тензором на римановом многообразии (связность Леви-Чивиты), тогда оператор параллельного перенесения является ортогональным, то есть сохраняет скалярные произведения векторов, их длины и углы между ними.
Важным свойством параллельного перенесения является также независимость результата перенесения от параметризации пути (эквивалентные пути дадут одинаковый результат). В то же время параллельное перенесение вдоль различных кривых обычно приводит к различным результатам.

Связанные определения

Геодезическая — гладкий путь, у которого касательный вектор в каждой точке получается параллельным перенесением касательного вектора из любой другой точки.
Группа голономии — группа $\Phi _{x}$ автоморфизмов касательного пространства $T_{x}M$ , определяемая параллельными переносами вдоль замкнутых кусочно гладких кривых. При этом, для связного многообразия $\Phi _{x}$ и $\Phi _{y}$ всегда сопряжены между собой.

История

Развитие понятия параллельного переноса началось с обычного параллелизма на евклидовой плоскости, для которой Миндинг в 1837 указал возможность обобщить её на случай поверхности в $\mathbb {R} ^{3}$ с помощью введенного им понятия развертывания кривой $\gamma \in S$ на плоскость $\mathbb {R} ^{2}$ . Это указание Миндинга послужило отправным пунктом для Леви-Чивиты, который, оформляя аналитически параллельный перенос касательного вектора на поверхности, обнаружил зависимость его только от метрики поверхности и на этой основе обобщил его сразу на случай $n$ -мерного риманова пространства (см. Связность Леви-Чивиты). Дальнейшие обобщения этого понятия связаны с развитием общей теории связностей.

Литература

Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.
Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — Новокузнецкий физико-математический институт. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.