Символы Кристоффеля

Символы впервые появились в статье Кристоффеля «О преобразовании однородных дифференциальных выражений второй степени» (нем. Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades — J. fur Math., № 70, 1869). В ней автор рассмотрел условия совпадения римановой геометрии, определяемой двумя различными метрическими формами. Независимо от Кристоффеля аналогичную задачу решил Рудольф Липшиц, чья статья появилась годом позже[1].

Символы Кристоффеля второго рода ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ можно определить как коэффициенты разложения ковариантной производной координатных векторов ${\displaystyle \partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ по базису:

${\displaystyle \nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}=\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}.}$

Символы Кристоффеля первого рода ${\displaystyle \Gamma _{n,ij}^{}}$:

${\displaystyle \Gamma _{n,ij}=g_{kn}\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{in}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{jn}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{n}}}\right).}$

Символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты для карты ${\displaystyle x^{i}}$ могут быть определены из отсутствия кручения, то есть,

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj},}$

и того условия, что ковариантная производная метрического тензора ${\displaystyle g_{ik}}$ равна нулю:

${\displaystyle 0=\nabla _{\ell }g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{\ell }}}-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.}$

Для сокращения записи символ набла ${\displaystyle \nabla }$ и символы частных производных часто опускаются, вместо них перед индексом, по которому производится дифференцирование, ставится точка с запятой «;» в случае ковариантной и запятая «,» в случае частной производной. Таким образом, выражение выше можно также записать как

${\displaystyle 0=g_{ik;\ell }=g_{ik,\ell }-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.}$

Явные выражения для символов Кристоффеля второго рода получаются, если сложить это уравнение и другие два уравнения, которые получаются циклической перестановкой индексов:

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{m}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m}),}$

где ${\displaystyle g^{ij}}$ — контравариантное представление метрики, которое есть матрица, обратная к ${\displaystyle g_{ij}}$, находится путём решения системы линейных уравнений ${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}}$.

Инвариантные обозначения для связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем.

Пусть X и Y — векторные поля с компонентами ${\displaystyle X^{i}}$ и ${\displaystyle Y^{k}}$. Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением

${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}\nabla _{i}Y^{k}=X^{i}\left({\frac {\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+\Gamma ^{k}{}_{im}Y^{m}\right).}$

Условие отсутствия кручения у связности:

${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$

эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по двум нижним индексам:

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}.}$

Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и компоненты тензоров, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат. В частности, выбором координат в окрестности любой точки символы Кристоффеля могут быть локально сделаны равными нулю (или обратно ненулевыми), что невозможно для тензора.

При замене переменных ${\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n})\ }$ на ${\displaystyle (y^{1},\dots ,y^{n})}$ базисные векторы преобразуются ковариантно:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}={\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}},}$

откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:

${\displaystyle {{\bar {\Gamma }}^{k}{}_{ij}}={\frac {\partial x^{p}}{\partial y^{i}}}\,{\frac {\partial x^{q}}{\partial y^{j}}}\,\Gamma ^{r}{}_{pq}\,{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{r}}}+{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{r}}}\,{\frac {\partial ^{2}x^{r}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}.}$

Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в касательном пространстве с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.

Примечание. Можно заметить, например, из определения, что первый индекс является тензорным, то есть по нему символы Кристоффеля преобразуются как тензор.

Пользуясь выражением символа через метрический тензор, либо преобразованием координат, можно получить значения их в любой системе координат. В механике и физике чаще всего используются ортогональные криволинейные системы координат. В этом случае символы Кристоффеля с равными коэффициентами выражаются через коэффициенты Ламе (диагональные элементы метрического тензора) ${\displaystyle H_{\beta }}$, а все остальные равны нулю.

Символы Кристоффеля первого рода выражаются так:

${\displaystyle \Gamma _{\beta \beta ,\gamma }=-H_{\beta }H_{\gamma }{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}}$ при ${\displaystyle \beta \neq \gamma ,}$

${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma ,\beta }=H_{\beta }{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}.}$

Символы Кристоффеля второго рода:

${\displaystyle \Gamma _{\beta \beta }^{\gamma }=-{\frac {H_{\beta }}{H_{\gamma }^{2}}}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}}$ при ${\displaystyle \beta \neq \gamma ,}$

${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\beta }=\Gamma _{\gamma \beta }^{\beta }={\frac {1}{H_{\beta }}}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}.}$

Значения для распространённых систем координат:

• В декартовой системе координат ${\displaystyle \{x,y,z\}}$: ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}\equiv 0}$, поэтому ковариантная производная совпадает с частной производной.
• В цилиндрической системе координат ${\displaystyle \{r,\phi ,z\}}$: ${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-r}$, ${\displaystyle \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{r}}}$. Остальные равны нулю.
• В сферической системе координат ${\displaystyle \{r,\theta ,\phi \}}$: ${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-r}$, ${\displaystyle \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta }$, ${\displaystyle \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}}}$, ${\displaystyle \Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta }$, ${\displaystyle \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\operatorname {ctg} \theta }$. Остальные равны нулю.

Разница двух аффинных связностей

${\displaystyle \Gamma _{X}Y=\nabla _{X}Y-{\tilde {\nabla }}_{X}Y}$

является тензором. В случае если ${\displaystyle {\tilde {\nabla }}}$ определяется в карте как связность в которой тензорные поля с постоянными компонентами параллельны, крисоффели ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ являются компонентами полученного тензора ${\displaystyle \Gamma }$. В этом случае отсутствие кручения у обеих связностей влечёт симметрию тензора

${\displaystyle \Gamma _{X}Y=\Gamma _{Y}X}$.

Можно выбрать другую базовую связность ${\displaystyle {\tilde {\nabla }}}$. Например, объявив параллельным произвольное поле ортонормированных реперов; так это делается в методе подвижного репера. Поскольку в этом случае связность ${\displaystyle {\tilde {\nabla }}}$ может иметь ненулевое кручение, то вообще говоря ${\displaystyle \Gamma _{X}Y\neq \Gamma _{Y}X}$. Однако поскольку обе связности римановы, выполняется другое, не менее полезное соотношение:

${\displaystyle \langle \Gamma _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\Gamma _{X}Z\rangle =0}$.

Иначе говоря ${\displaystyle \Gamma }$ является 1-формой на многообразии со значениями ${\displaystyle \Gamma _{X}}$ в антисимметрических операторах на касательном пространстве.

• Геодезическая
• Символ Леви-Чивиты

• Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление. — М.: Высшая школа, 2001. — 575 с. — ISBN 5-06-004155-7.

• Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. — М.: Издательство Московского университета, 1974. — 206 с.

• Чернавский А. В. Дифференциальная геометрия, 2 курс.