Частная производная
В математическом анализе частная производная (первая производная) — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.
Частная производная функции по переменной обычно обозначается , или . В случае если переменные нумерованы, например используются также обозначения и .
В явном виде частная производная функции в точке определяется следующим образом:
Оператор \ Функция | ||
---|---|---|
Дифференциал | 1: | 2:
3: |
Частная производная (первая производная) | ||
Полная производная(вторая производная) |


Обозначение
Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где — частный дифференциал функции по переменной . Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении [1].
Геометрическая интерпретация
Геометрически, частная производная даёт производную по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции в точке по координате равна производной по направлению , где единица стоит на -м месте.
Примеры

Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле
Частная производная объёма V относительно радиуса r
которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его радиус меняется, а его высота остаётся неизменной. Например, если считать единицы измерения объёма , а измерения длины , то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объёма , т.е. изменение величины радиуса на 1 будет соответствовать изменению объёма конуса на .
Частная производная относительно h
которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его высота меняется, а его радиус остаётся неизменным.
Полная производная V относительно r и h
и
Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.
Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,
Это даёт полную производную относительно r:
Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.
См. также
Примечания
- Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»