Производная Пинкерле

Производная Пинкерле, как и любой коммутатор, является дифференцированием, удовлетворяющим правилу произведения и суммы: для любых линейных оператора ${\displaystyle \scriptstyle S}$ и ${\displaystyle \scriptstyle T}$, принадлежащих ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {End} \left(\mathbb {K} [x]\right)}$, выполняется

1. ${\displaystyle \scriptstyle {(T+S)^{\prime }=T^{\prime }+S^{\prime }}}$ ;
2. ${\displaystyle \scriptstyle {(TS)^{\prime }=T^{\prime }\!S+TS^{\prime }}}$ где ${\displaystyle \scriptstyle {TS=T\circ S}}$ является композицией операторов ;

Также ${\displaystyle \scriptstyle {[T,S]^{\prime }=[T^{\prime },S]+[T,S^{\prime }]},}$ где ${\displaystyle \scriptstyle {[T,S]=TS-ST}}$ — обычная скобка Ли, что следует из тождества Якоби.

Обычная производная, D = d/dx, является оператором на многочленах. Прямое вычисление показывает, что её производная Пинкерле равна

${\displaystyle D'=\left({d \over {dx}}\right)'=\operatorname {Id} _{\mathbb {K} [x]}=1.}$

По индукции, эта формула обобщается до

${\displaystyle (D^{n})'=\left({{d^{n}} \over {dx^{n}}}\right)'=nD^{n-1}.}$

Это доказывает, что производная Пинкерле дифференциального оператора

${\displaystyle \partial =\sum a_{n}{{d^{n}} \over {dx^{n}}}=\sum a_{n}D^{n}}$

также является дифференциальным оператором, так что производная Пинкерле есть дифференцирование ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Diff} (\mathbb {K} [x])}$.

Оператор сдвига

${\displaystyle S_{h}(f)(x)=f(x+h)}$

может быть записан

${\displaystyle S_{h}=\sum _{n=0}{{h^{n}} \over {n!}}D^{n}}$

с помощью формулы Тейлора. Тогда его производная Пинкерле равняется

${\displaystyle S_{h}'=\sum _{n=1}{{h^{n}} \over {(n-1)!}}D^{n-1}=h\cdot S_{h}.}$

Другими словами, операторы сдвига есть собственные векторы производной Пинкерле, чей спектр есть все пространство скаляров ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbb {K} }}$.

Если T инвариантен к сдвигу, то есть если T коммутирует с S_h или ${\displaystyle \scriptstyle {[T,S_{h}]=0}}$, мы также имеем: ${\displaystyle \scriptstyle {[T',S_{h}]=0}}$, так что ${\displaystyle \scriptstyle T'}$ также является инвариантным к тому же сдвигу ${\displaystyle \scriptstyle h}$.

Дельта-оператор дискретного времени

${\displaystyle (\delta f)(x)={{f(x+h)-f(x)} \over h}}$

это оператор

${\displaystyle \delta ={1 \over h}(S_{h}-1),}$

чья производная Пинкерле — оператор сдвига ${\displaystyle \scriptstyle {\delta '=S_{h}}}$.

• Коммутатор операторов

• Weisstein, Eric W. Pincherle Derivative. MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Biography of Salvatore Pincherle на MacTutor History of Mathematics archive.