Абелев дифференциал
А́белев дифференциа́л — голоморфный или мероморфный дифференциал на компактной, или замкнутой, римановой поверхности .
Пусть — род поверхности — циклы канонического базиса гомологий . В зависимости от характера особенностей различают Абелев дифференциал трёх родов: I, II и III, причём имеют место строгие включения: .
Абелев дифференциал I рода
Абелев дифференциал I рода — это голоморфные всюду на дифференциалы 1-го порядка, которые в окрестности каждой точки имеют вид , где — локальная униформизирующая переменная в , , а — голоморфная, или регулярная, аналитическая функция от в . Сложение абелева дифференциала и умножение на голоморфную функцию определяется естественными правилами: если
, |
то
. |
Абелев дифференциал I рода образуют векторное пространство размерности . После введения скалярного произведения
, |
где — внешнее произведение на звёздно сопряжённый дифференциал , пространство превращается в гильбертово пространство.
Пусть суть - и -периоды абелева дифференциала I рода , то есть интегралы
. |
Тогда имеет место соотношение:
. | (1) |
Если — периоды другого абелева дифференциала Iрода , то
. | (2) |
Соотношения (1) и (2) называются билинейными соотношениями Римана для абелевых дифференциалов I рода. Канонический базис абелева дифференциала I рода, то есть канонический базис пространства , выбирается таким образом, что
, |
где и при . При этом матрица -периодов
симметрическая, а матрица мнимых частей положительно определённая. Абелев дифференциал первого рода, у которого все -периоды или все -периоды равны нулю, тождественно равен нулю. Если все периоды абелева дифференциала I рода действенны, то .
Литература
- Неванлинна, Р. Униформизация / пер. с нем. — М. : Иноиздат, 1955. — 435 с.
- Спрингер, Дж. Введение в теорию римановых поверхностей / пер. с англ. Л. А. Маркушевич и Г. Ц. Тумаркина. — М. : Иноиздат, 1960. — 343 с.
- Чеботарёв, Н. Г. Теория алгебраических функций. — М. ; Л. : Гостехлитиздат, 1948. — 397 с.