Тождество Якоби

Следующие операции удовлетворяют тождеству Якоби:

• Коммутатор операторов
• коммутатор в алгебре Ли
• Скобки Ли векторных полей
• Скобки Пуассона функций на симплектическом многообразии
• Векторное произведение векторов

Если умножение ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ антикоммутативно, то тождеству Якоби можно придать несколько другой вид, используя присоединённое представление алгебры Ли:

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\colon y\mapsto [x,y]}$

Записав тождество Якоби в форме

${\displaystyle [x,[y,z]]=[y,[x,z]]+[[x,y],z]}$

получим, что оно равносильно условию выполнения правила Лейбница для оператора ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$:

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\,[y,z]=[\mathrm {ad} _{x}\,y,z]+[y,\mathrm {ad} _{x}\,z]}$

Таким образом, ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$ — это дифференцирование в алгебре Ли. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Тождеству Якоби также можно придать вид

${\displaystyle \mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]=\mathrm {ad} _{x}\mathrm {ad} _{y}-\mathrm {ad} _{y}\mathrm {ad} _{x}}$

Это означает, что оператор ${\displaystyle \mathrm {ad} }$ задаёт гомоморфизм данной алгебры Ли в алгебру Ли её дифференцирований.

Пусть ${\displaystyle \Omega =\oplus _{i}\Omega ^{i}}$ — градуированная алгебра, ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ — умножение в ней. Говорят, что умножение в ${\displaystyle \Omega }$ удовлетворяет градуированному тождеству Якоби, если для любых элементов ${\displaystyle \omega _{i}\in \Omega ^{i}}$

${\displaystyle [\omega _{m},[\omega _{k},\omega _{l}]=[[\omega _{m},\omega _{k}],\omega _{l}]+(-1)^{mk}[\omega _{k},[\omega _{m},\omega _{l}]}$