Тангенциальнозначная форма

Частным случаем тангенциальнозначных форм являются векторные поля. Производная Ли от тензорного поля ${\displaystyle T}$ по векторному полю ${\displaystyle X}$ определяется стандартным образом:

${\displaystyle L_{X}T={\frac {d}{dt}}g^{t}T}$

где ${\displaystyle g^{t}}$ — фазовый поток, соответствующий векторному полю ${\displaystyle X}$. Эта операция связана с внутренним умножением ${\displaystyle \imath _{X}}$ дифференциальной формы на векторное поле и внешним дифференцированием формулой гомотопии:

${\displaystyle L_{X}=\imath _{X}d+d\imath _{X}}$

то есть

${\displaystyle L_{X}=[\imath _{X},d]}$

где ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ — коммутатор в градуированной алгебре дифференцирований тангенциальнозначных форм. Для произвольной тангенциальнозначной формы ${\displaystyle K}$ производная Ли определяется по аналогии:

${\displaystyle L_{K}=[\imath _{K},d]}$

Свойства

• ${\displaystyle [L_{K},d]=0}$

Скобка Фрёлихера-Нейенхёйса ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ двух тангенциальнозначных форм ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle F}$ определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма ${\displaystyle [K,F]}$, для которой

${\displaystyle [L_{K},L_{F}]=L([K,F])}$

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Если воспринимать почти комплексную структуру ${\displaystyle I}$ как касательнозначную 1-форму, её тензор Нейенхёйса (тензор, препятствующий отысканию комплексных локальных карт) выражается через скобку Фрёлихера-Нейенхёйса как ${\displaystyle [I,I]}$.[1] Условие «интегрируемости» некой структуры как зануление некоторой её скобки с самой собой общо: например, условие ассоциативности алгебры ${\displaystyle A}$ можно определять как зануление скобки Герстенхабера на пространстве кодифференцирований свободной коалгебры, порождённой подлежащим векторным пространством алгебры ${\displaystyle A}$, посажённым в градуировку 1 (билинейные умножения ${\displaystyle \mu \colon A\otimes A\to A}$ суть то же самое, что кодифференцирования градуировки 1)[2].

Скобка Нейенхёйса-Ричардсона (алгебраические скобки) ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]^{\wedge }}$ двух тангенциальнозначных форм ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle F}$ определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма ${\displaystyle [K,F]^{\wedge }}$, для которой

${\displaystyle [\imath _{K},\imath _{F}]=\imath ([K,F]^{\wedge })}$

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Явный вид для скобки двух форм ${\displaystyle K\in \Omega ^{k+1}(M,TM)}$, ${\displaystyle F\in \Omega ^{f+1}(M,TM)}$:

${\displaystyle [K,F]^{\wedge }=\imath _{k}F-(-1)^{kf}\imath _{F}K}$