Антикоммутативность

Антикоммутативность — свойство мультипликативной бинарной операции в кольце: ${\displaystyle x^{2}=x\cdot x=0}$.

Из определения вытекает тождество ${\displaystyle x\cdot y+y\cdot x=0}$, так как выражение ${\displaystyle (x+y)\cdot (x+y)}$ равно:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=x\cdot (x+y)+y\cdot (x+y)=\\&=x\cdot x+x\cdot y+y\cdot x+y\cdot y=\\&=x\cdot y+y\cdot x\\\end{aligned}}}$

Если ${\displaystyle 2=1+1}$ в кольце не является делителем нуля, тогда тождество ${\displaystyle x\cdot x=0}$ само следует из ${\displaystyle x\cdot y+y\cdot x=0}$ и они оказываются равносильны; но в общем случае это не так (например, в алгебрах над полем характеристики 2 первое тождество сильнее второго).

Понятие возникло в связи с алгебрами Ли, в которых умножение удовлетворяет тождеству ${\displaystyle x\cdot y=-y\cdot x}$ (как и ${\displaystyle x^{2}=0}$). Классический пример антикоммутативной операции — векторное произведение, для которого ${\displaystyle x\times y=-y\times x}$ (в отличие от коммутативного скалярного произведения).

Некоторые антикоммутативные алгебры: алгебры Мальцева, алгебра внешних форм, алгебра дифференцирований дифференциальных форм, алгебра тангенциальнозначных форм.

Умножение в градуированной алгебре ${\displaystyle \Omega =\oplus _{i}\Omega ^{i}}$ называется градуированно антикоммутативным, если для любых элементов ${\displaystyle \omega _{m}\in \Omega ^{m}}$, ${\displaystyle \omega _{k}\in \Omega ^{k}}$ выполнено:

${\displaystyle \omega _{m}\cdot \omega _{k}+(-1)^{mk+1}\omega _{k}\cdot \omega _{m}=0}$.