Алгебра Мальцева

Алгебра Мальцева — неассоциативная алгебра ${\displaystyle M}$ над полем ${\displaystyle F}$, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:

1. условию антисимметричности:

${\displaystyle g(A,B)=-g(B,A)}$

для всех ${\displaystyle A,B\in M}$.

1. тождеству Мальцева:

${\displaystyle J(A_{1},A_{2},g(A_{1},A_{3}))=g(J(A_{1},A_{2},A_{3}),A_{1})}$

для всех ${\displaystyle A_{k}\in M}$, где ${\displaystyle k=1,2,\dots ,6}$, и ${\displaystyle J(A,B,C):=g(g(A,B),C)+g(g(B,C),A)+g(g(C,A),B).}$

1. условию билинейности:

${\displaystyle g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C)}$

для всех ${\displaystyle A,B,C\in M}$ и ${\displaystyle a,b\in F}$.

Алгебра Мальцева была введена в 1955 году советским математиком Анатолием Ивановичем Мальцевым.

Существует следующая взаимосвязь между альтернативными алгебрами и алгеброй Мальцева. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутирования [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает её в алгебру ${\displaystyle M^{(-)}}$. При этом, если M является альтернативной алгеброй, то ${\displaystyle M^{(-)}}$ будет алгеброй Мальцева. (Другими словами, для алгебр Мальцева существует аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта.) Алгебра Мальцева является одним из обобщений алгебры Ли, которая является частным примером алгебры Мальцева.

Для алгебр Мальцева имеет место теорема, аналогичная классической теореме о связи алгебры Ли и группы Ли. Касательная алгебра локальной аналитической лупы Муфанг является алгеброй Мальцева. Верно также и обратное утверждение: любая конечномерная алгебра Мальцева ${\displaystyle M}$ над полным нормированным полем ${\displaystyle F}$ характеристики 0 является касательной алгеброй некоторой локальной аналитической лупы Муфанг.