Теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта

Теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта — утверждение, описывающее универсальную обёртывающую алгебру ${\displaystyle (U,\alpha )}$ для заданной алгебры Ли ${\displaystyle L}$ над полем ${\displaystyle K}$ с базисом ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ в векторном пространстве ${\displaystyle L}$: элементы ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle \alpha (x_{i_{1}})\cdot \ldots \cdot \alpha (x_{i_{s}})}$ (${\displaystyle s\geqslant 1,i_{1}\leqslant ...\leqslant i_{s}}$) образуют базис в линейном пространстве ${\displaystyle U}$. В частности, отображение ${\displaystyle \alpha }$ является вложением ${\displaystyle L}$ в ${\displaystyle U}$, то есть ядро отображения ${\displaystyle \alpha }$ равно ${\displaystyle (0)}$[1][2][3].