Универсальная обёртывающая алгебра

Ассоциативная алгебра ${\displaystyle A}$ над полем ${\displaystyle K}$ обладает естественной структурой алгебры Ли над ${\displaystyle K}$ со следующей скобкой Ли: ${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$, то есть, из ассоциативного произведения можно построить скобку Ли с помощью простого взятия коммутатора. Обозначим эту алгебру Ли ${\displaystyle A_{L}}$.

Построение универсальной обёртывающей алгебры пытается обратить этот процесс: для данной алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над ${\displaystyle K}$ находят «наиболее общую» ассоциативную ${\displaystyle K}$-алгебру ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ такую, что алгебра Ли ${\displaystyle U_{L}}$ содержит ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Важное ограничение — сохранение теории представлений: представления ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ соотносятся точь-в-точь так же как и модули над ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$. В типичном контексте, где ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ задаётся инфинитезимальными преобразованиями, элементы ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ действуют как дифференциальные операторы всех порядков.

Важная тема в изучении алгебр и вероятно основной путь их появления в приложениях это представление алгебры Ли. Представление ${\displaystyle \rho }$ ставит каждому элементу x алгебры Ли линейный оператор ${\displaystyle \rho (x)}$. Данное пространство линейных операторов не только алгебра Ли, но также и ассоциативная алгебра, так что возможно рассматривать произведения ${\displaystyle \rho (x)\rho (y)}$. Суть введения универсальной обёртывающей алгебры в изучении таких произведений в различных представлениях алгебры Ли. Сразу видится одно препятствие в наивной попытке сделать это: свойства произведений коренным образом зависят от выбранного представления, а не только от самой алгебры Ли. Например, для одного представления можно получить ${\displaystyle \rho (x)\rho (y)=0}$, в то время как в другом представлении это произведение может быть не нулевым. Тем не менее определённые свойства универсальны для всех представлений, то есть сохраняют справедливость для всех представлений одновременно. Универсальная обёртывающая алгебра — это способ охватить все такие свойства и только их.

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — произвольная алгебра Ли над полем ${\displaystyle K}$. При заданных ассоциативной алгебре ${\displaystyle U}$ с единицей и гомоморфизме алгебр Ли

${\displaystyle h\colon {\mathfrak {g}}\to U_{L},}$

будем говорить, что ${\displaystyle U}$ является универсальной обёртывающей алгеброй алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, если она удовлетворяет следующему универсальному свойству: для любой ассоциативной алгебры ${\displaystyle A}$ с единицей и гомоморфизма алгебр Ли

${\displaystyle f\colon {\mathfrak {g}}\to A_{L}}$

существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр с единицей

${\displaystyle g\colon U\to A}$

такой, что

${\displaystyle f=gh.}$

Это универсальное свойство также можно понимать так: функтор, отображающий ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ в её универсальную обёртывающую алгебру, сопряжён слева к функтору, отображающему ассоциативную алгебру ${\displaystyle A}$ в соответствующую алгебру Ли ${\displaystyle A_{L}}$.

Из этого универсального свойства можно доказать, что если алгебра Ли имеет универсальную обёртывающую алгебру, то эта обёртывающая алгебра единственным образом определяется алгеброй ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (с точностью до изоморфизма). С помощью следующей конструкции, которая напрашивается из общих соображений (например, как часть пары сопряжённых функторов), устанавливается, что на самом деле любая алгебра Ли обязательно имеет универсальную обёртывающую алгебру.

Начиная с тензорной алгебры ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ на векторном пространстве алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, мы получаем ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ факторизацией ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ посредством соотношений:

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a=[a,b]}$

для любых ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, где скобки в правой части выражения обозначают коммутатор в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Формально мы определили

${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I}$

где ${\displaystyle I}$ — двусторонний идеал ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$, порождённый элементами вида

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a-[a,b],\quad a,b\in {\mathfrak {g}}.}$

Естественное отображение ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to T({\mathfrak {g}})}$ сводится к отображению ${\displaystyle h\colon {\mathfrak {g}}\to U_{L}}$, и именно этот гомоморфизм алгебр Ли используется в вышеприведённом универсальном свойстве.

Описанная конструкция почти дословно проходит на случай супералгебр Ли.

Если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ абелева (то есть, коммутатор всегда 0), то ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ — коммутативна; если выбран базис векторного пространства ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, то ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ может рассматриваться как алгебра многочленов над ${\displaystyle K}$, с одной переменной для каждого базисного элемента.

Если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — алгебра Ли группы Ли ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ может рассматриваться как алгебра левоинвариантных дифференциальных операторов (всех порядков) на ${\displaystyle G}$, содержащая ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ в качестве дифференциальных операторов первого порядка (которые находятся во взаимном соответствии с левоинвариантными векторными полями на ${\displaystyle G}$).

Центр алгебры ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ обозначается через ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$ и состоит из дифференциальных операторов, являющихся инвариантными как относительно левого действия группы, так и относительно правого; в случае некоммутативности ${\displaystyle G}$ центр часто не порождается операторами первого порядка (например, оператор Казимира полупростой алгебры Ли).

Также ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ можно охарактеризовать как алгебру обобщённых функций с носителем на единичном элементе ${\displaystyle e}$ группы ${\displaystyle G}$ с операцией свёртки.

Алгебра Вейля дифференциальных операторов от ${\displaystyle n}$ переменных с полиномиальными коэффициентами может быть получена, начиная с алгебры Ли группы Гейзенберга. Для этого необходимо профакторизовать её так, чтобы центральные элементы данной алгебры Ли действовали как скаляры.

Фундаментальная теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта даёт точное описание ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$; наиболее важное следствие из неё — это то, что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ может рассматриваться как линейное подпространство ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$. Более точно: каноническое отображение ${\displaystyle h\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$ всегда инъективно. Более того, ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ порождается ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ как ассоциативная алгебра с единицей.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ действует на себе при помощи присоединённого представления алгебры Ли, и это действие может быть расширено на представление ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ в эндоморфизмы ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ действует как алгебра производных на ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$, и это действие сохраняет наложенные соотношения, поэтому она фактически действует на ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$. (Это чисто инфинитезимальный способ смотреть на вышеупомянутые инвариантные дифференциальные операторы.)

При таком представлении, элементы ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$, инвариантные под действием ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (то есть действие на них любого элемента ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ тривиально), называются инвариантными элементами. Они порождаются инвариантами Казимира.

Как было сказано выше, конструкция универсальных обёртывающих алгебр — это часть пары сопряжённых функторов. ${\displaystyle U}$ — функтор из категории алгебр Ли над ${\displaystyle K}$ в категорию ассоциативных ${\displaystyle K}$-алгебр с единицей. Этот функтор — сопряженный слева к функтору, отображающему алгебру ${\displaystyle A}$ в алгебру ${\displaystyle A_{L}}$. Следует отметить, что конструкция универсальной обёртывающей алгебры не является в точности обратной к формированию ${\displaystyle A_{L}}$: если начать с ассоциативной алгебры ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle U(A_{L})}$ не равна ${\displaystyle A}$; она значительно больше.

Сведения о теории представлений, упомянутые ранее, могут быть уточнены следующим образом: абелева категория всех представлений ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ изоморфна абелевой категории всех левых модулей ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$.

Построение групповой алгебры заданной группы во многом аналогична построению универсальной обёртывающей алгебры для заданной алгебры Ли. Оба построения универсальны и переносят теорию представлений в теорию модулей. Более того, как групповые алгебры, так и универсальные обёртывающие алгебры имеют естественную структуру коумножения, которые превращают их в алгебры Хопфа.

• Dixmier, Jacques. Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation.. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1996. — Т. 11. — 379 с. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 0-8218-0560-6.
• Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. — Москва: Мир, 1969. — 376 с. — ISBN 978-5-458-50774-5.  
• Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления. — 2-е изд., доп. — Москва: МЦНМО, 2007. — 552 с. — ISBN 978-5-94057-302-9.