Изоморфизм категорий

Изоморфизм категорий — взаимно-однозначное отношение между категориями, сохраняющее структуру объектов и морфизмов: категории $C$ и $D$ изоморфны, если существуют функторы $F\colon C\to D$ и $G\colon D\to C$ , которые являются обратными друг другу, то есть, $FG=1_{D}$ (функтор тождественности на $D$ ) и $GF=1_{C}$ [1]. Две изоморфные категории разделяют все свойства, которые определены только в терминах теории категорий; для всех практических целей они идентичны и различаются только обозначениями объектов и морфизмов.

Изоморфизм категорий является очень сильным условием, которое редко удовлетворяется; в связи с этим чаще используется понятие эквивалентности категорий, для которого не требуется, чтобы $FG$ был равен to $1_{D}$ , а лишь естественно изоморфен $1_{D}$ , и аналогично $GF$ был естественно изоморфен $1_{C}$ .

Функтор $F\colon C\to D$ создаёт изоморфизм категорий тогда и только тогда, когда он биективен на объектах и на множестве морфизмов[1]; благодаря этому критерию можно доказывать изоморфность категорий без построения обратного функтора $G$ .

Примеры

Для конечной группы $G$ , поле $k$ и групповой алгебры $kG$ категория $k$ -линейных представлений группы группы $G$ изоморфна категории левых модулей над $kG$ . Изоморфизм можно описать следующим образом: если дано представление группы $\rho \colon G\to \mathbf {GL} (V)$ , где $V$ — векторное пространство над $k$ , $\mathbf {GL} (V)$ является группой его $k$ -линейных автоморфизмов, а $\rho$ является гомоморфизмом групп, $V$ переводится в левый $kG$ -модуль следующим образом:

\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum _{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)

для любого $v$ из $V$ и любого элемента $\sum a_{g},g\in kG$ . Обратно, если задан левый $kG$ -модуль $M$ , то $M$ является $k$ -векторным пространством, и умножение на элемент $g$ группы $G$ приводит к $k$ -линейному автоморфизму модуля $M$ (поскольку $g$ обратим в $kG$ ), что описывает групповой гомоморфизм $G\to \mathbf {GL} (M)$ .

Любое кольцо может рассматриваться как предаддитивная категория с единственным объектом. Категория функторов всех аддитивных функторов из этой категории в категорию абелевых групп изоморфна категории левых модулей над кольцом.

Автоморфизм категорий возникает в теории булевых алгебр: категория булевых алгебр изоморфна категории булевых колец. Заданная булева алгебра $B$ переводится в булево кольцо с помощью симметрической разности в качестве сложения и операции логического умножения $\land$ в качестве умножения. И обратно, если дано булево кольцо $R$ , то можно определить операцию объединения как $a\lor b=a+b+ab$ , а операцию пересечения как умножение. Оба этих определения могут быть расширены до морфизмов для получения функторов и эти функторы взаимно обратны друг другу.

Если $C$ является категорией с начальным объектом $s$ , то категория объектов «над» ( $s{\downarrow }C$ ) изоморфна $C$ . Двойственно, если $t$ является терминальным объектом в $C$ , категория функтора ( $C{\downarrow }t$ ) изоморфна $C$ .

Примечания

Маклейн, 2004, с. 25.

Литература

Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_fe7dca752014274c-1] Маклейн, 2004, с. 25.