Алгебра Хопфа

Алгебра Хопфа — ассоциативная алгебра над полем, имеющая единицу и являющаяся также коассоциативной коалгеброй с коединицей (таким образом, являющаяся биалгеброй) c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Хайнца Хопфа.

Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они впервые возникли в связи с концепцией H-пространства, в теории групповых схем, в теории групп (благодаря концепции группового кольца) и не только. Частая распространенность делает их одним из самых известных примеров биалгебр. Алгебры Хопфа также изучаются как самостоятельный объект в связи с большим количеством определённых классов алгебр Хопфа и проблем их классификации.

Определение

Алгебра Хопфа — ассоциативная и коассоциативная биалгебра H над полем вместе с -линейным отображением (называемым антиподом) таким, что следующая диаграмма коммутативна:

Здесь Δ — коумножение биалгебры, ∇ — её умножение, η — её единица и ε — её коединица. В обозначениях Свидлера, это свойство также может быть выражено как:

.

Приведённое определение можно обобщить на алгебры над кольцами (достаточно в определении заменить поле  на коммутативное кольцо ).

Определение алгебры Хопфа двойственно самому себе (это отражено в симметрии приведённой диаграммы), в частности, пространство, двойственное к H (которое всегда можно определить, если H является конечномерным) автоматически является алгеброй Хопфа.

Свойства антипода

Антипод S иногда обязан иметь R-линейную инверсию, которая является автоматической в конечномерном случае, или если H коммутативна или кокоммутативна (или, вообще говоря, квазитреугольная).

Вообще говоря, S — антигомоморфизм[1], так S2 — гомоморфизм, который является поэтому автоморфизмом, если S было обратимо (как может требоваться).

Если , то алгебра Хопфа, как говорят, является запутанной (и основная алгебра с запутанностью — *-алгебра). Если H — конечномерная полупростая алгебра по полю характеристики ноль, коммутативная, или кокоммутативная, то это — запутанная алгебра.

Если биалгебра B допускает антипод S, то S единственен («биалгебра допускает самое большее 1 структуру алгебры Хопфа»).[2]

Антипод — аналог к отображению инверсии на группе, которая посылает к .[3]

Подалгебры Хопфа

Подалгебра A алгебры Хопфа H является подалгеброй Хопфа, если она является подкоалгеброй H и антипод S отображает A в A. Другими словами, подалгебра Хопфа A — это подпространство в алгебре Хопфа, замкнутое относительно умножения, коумножения и антипода. Теорема Николса — Зеллер (Nichols — Zoeller) о свободности (1989) утверждает, что любой натуральный R-модуль имеет конечный ранг и свободен, если H конечномерна, что даёт обобщение теоремы Лагранжа для подгрупп. Как следствие этой теории, подалгебра Хопфа полупростой конечномерной алгебры Хопфа автоматически полупроста.

Подалгебра Хопфа A называется правой нормальной подалгеброй алгебры Хопфа H, если она удовлетворяет условию стабильности, для всех h из H, где присоединённое действие определено как для всех a из A и h из H. Точно так же подалгебра Хопфа K является левой нормальной в H если она инвариантна при левом сопряжении, определенном как для всех k из K. Оба условия нормальности эквивалентны, если антипод S биективен. В этом случае говорят, что A = K является нормальной подалгеброй Хопфа.

Нормальная подалгебра Хопфа A в H удовлетворяет условию (равенства подмножеств H): , где обозначает ядро коединицы K. Это условие нормальности подразумевает, что  — идеал Хопфа алгебры H (то есть является идеалом алгебры в ядре коединицы, коидеалом коалебры и устойчив под действием антипода). Как следствие, определена факторалгебра Хопфа и эпиморфизм , аналогично соответствующим конструкциям нормальных подгрупп и факторгрупп в теории групп.[4]

Примеры
  1. Групповая алгебра. Пусть G — группа. Алгебра R G — ассоциативная алгебра над R, с единицей. Если мы определим
  2. Δ : R G → R G ⊗ R G, Δ(g) = g ⊗ g для любого g из G,
  3. ε : R G → R, ε(g) = 1 для любого g из G,
  4. S : R G → R G, S(g) = g−1 для любого g из G,

то R G превращается в алгебру Хопфа.

STU-соотношение и тривиальный случай
  1. Диаграмма китайских иероглифов - связный граф, имеющий лишь трехвалентные вершины, с выделенным ориентированным циклом (петлей Вильсона), и фиксированным циклическим порядком тройки ребер, которые выходят из каждой вершины, не лежащей на петле Вильсона. Группа китайских диаграмм порядка - свободный -модуль, порожденный -вершинными диаграммами (которые рассматриваются с точностью до естественной эквивалентности), факторизованный по подмодулю, порожденному всевозможными -соотношениями[5].

Когомологии групп Ли

Алгебра когомологий группы Ли — алгебра Хопфа: умножение — стандартное произведение в кольце когомологий, а коумножение имеет вид

в силу умножения группы . Это наблюдение было фактически источником понятия алгебры Хопфа. Используя эту структуру, Хопф доказал структурную теорему для алгебры когомологий групп Ли.

Теорема Хопфа[6] Пусть A — конечномерная градуированно-коммутативная кокоммутативная алгебра Хопфа над полем характеристики 0. Тогда A (как алгебра) — свободная внешняя алгебра с генераторами нечетной степени.

Квантовые группы

Все примеры выше являются либо коммутативными (то есть умножение коммутативное), либо кокоммутативными (то есть Δ = T ∘ Δ, где T : H ⊗ H → H ⊗ H есть перестановка тензорных сомножителей, определенная как T(x ⊗ y) = y ⊗ x). Другими интересными примерами алгебр Хопфа — некоторые деформации, или «квантования», примера 3, которые не являются ни коммутативными, ни кокоммутативными. Эти алгебры Хопфа часто называют «квантовыми группами». Идея состоит в следующем: обычная алгебраическая группа может быть описана в терминах алгебры Хопфа регулярных функций. Мы можем тогда думать о деформации этой алгебры Хопфа как об описании некоторой «квантованной» алгебраической группы (хотя она и не является алгебраической группой ни в каком смысле). Многие свойства алгебраических групп, а также конструкции с ними имеют свои аналоги в мире деформированных алгебр Хопфа. Отсюда название «квантовая группа».

Аналогия с группами

Группы могут быть аксиоматизированы при помощи тех же диаграмм (эквивалентностей, операций), что и алгебры Хопфа, где H — множество, а не модуль. В этом случае:

  • поле R заменено множеством из 1 элемента
  • есть естественная коединица (отображение в единственный элемент)
  • есть естественное коумножение (диагональное отображение)
  • единица — нейтральный элемент группы
  • умножение — умножение в группе
  • антипод — взятие обратного элемента в группе

В этом смысле о группах можно думать как о алгебрах Хопфа над полем из одного элемента.[7]

Примечания
  1. Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Prop. 4.2.6, p. 153
  2. Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Remarks 4.2.3, p. 151
  3. Quantum groups lecture notes
  4. S. Montgomery, Hopf algebras and their actions on rings, Conf. Board in Math. Sci. vol. 82, A.M.S., 1993. ISBN 0-8218-0738-2
  5. В.А.Васильев - Топология дополнений к дискриминантам. М.: ФАЗИС, 1997.
  6. Hopf, 1941.
  7. Group = Hopf algebra " Secret Blogging Seminar, Group objects and Hopf algebras, video of Simon Willerton.

Ссылки
  • Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras, vol. 235 (1st ed.), Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9.
  • Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras (недоступная ссылка), IHES preprint, September 2006, 81 pages
  • Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992), Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
  • H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22-52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119—151, Springer, Berlin (1964). MR: 4784
  • Street, Ross (2007), Quantum groups, vol. 19, Australian Mathematical Society Lecture Series, Cambridge University Press, MR: 2294803, ISBN 978-0-521-69524-4; 978-0-521-69524-4.

Литература
  • Манин Ю. И. Введение в теорию схем и квантовые группы. — М.: МЦНМО, 2012. — 256 с. — ISBN 978-5-94057-635-8.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.