Квантование (физика)

Понятие квантования возникло в физике с появлением квантовой механики. Начиная с Н.Бора под квантованием понимали деформацию с параметром деформации ${\displaystyle \hbar }$ алгебры ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ функций (наблюдаемых) на гладком многообразии ${\displaystyle M,}$ наделенной скобкой Пуассон. Таким образом, квантование - семейство алгебр ${\displaystyle A_{\hbar },}$ параметризованное параметром ${\displaystyle \hbar .}$ Это алгебра (самосопряженных) операторов, действующих на гильбертовом пространстве ${\displaystyle H,}$ а при ${\displaystyle \hbar =0}$ эта алгебра совпадает с алгеброй операторов умножения на функции из исходной пуассоновой алгебры функций на заданном многообразии ${\displaystyle M,}$ которую называют алгеброй классических наблюдаемых, то есть ${\displaystyle A_{0}=C^{\infty }(M).}$

Квантовые интегрируемые модели - как правило, деформации соответствующих классических моделей. Однако, раньше считалось, что при этом структура группы симметрии не деформируется, оставаясь неизмененной. В.Г.Дринфельд пояснил, что в методах, основанных на использовании квантовой ${\displaystyle R}$-матрицы (задающей коммутационные соотношения между локальными наблюдаемыми решеточных систем[1]), при исследовании моделей статистической механики и квантовой теории поля, можно считать, что используемая там квантовая ${\displaystyle R}$-матрица является деформацией классической ${\displaystyle r}$-матрицы соответствующей классической интегрируемой системы. Структура алгебры Хопфа является деформацией или квантованием группы симметрий (которая является коммутативной алгеброй Хопфа) исходной системы. В.Г.Дринфельд назвал алгебры Хопфа, возникающие в связи с квантовыми интегрируемыми моделями, квантовыми группами[2]. Они имеют квазитреугольную структуру. [3][4][5]

• Алгебра Ли
• Алгебра Каца-Муди
• Кластерное многообразие