Функциональный интеграл

Функциональный интеграл (континуальный интеграл, интеграл по траекториям, фейнмановский интеграл по траекториям, интеграл Фейнмана) — запись или результат функционального интегрирования (интегрирования по траекториям). Находит наибольшее применение в квантовой физике (квантовой теории поля, теории струн и т. д.) и статистической физике, а также при изучении ряда классов стохастических процессов вообще.

Под функциональным интегрированием формально имеется в виду вычисление интеграла некоторого функционала Ф по пространству функций x(t) или какому-то подмножеству[1] такого пространства:

${\displaystyle \int Dx\,\Phi [x],}$

который определяется как предел (конечномерного) интеграла по пространству неких конечномерных аппроксимаций функций x(t) при стремлении размерности этих аппроксимаций к бесконечности; обычный и наиболее простой способ заключается в рассмотрении функции x на конечном множестве точек ${\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{N}}$, определяя тогда функциональный интеграл в простейшем случае равномерного разбиения, которым можно и ограничиться, как

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\int \int \dots \int dx_{1}\,dx_{2}\dots dx_{N}\,\Phi [x_{1},x_{2},\dots ,x_{N}],}$

где под ${\displaystyle \Phi [x_{1},x_{2},\dots ,x_{N}]}$ имеется в виду соответствующая аппроксимация функционала Ф[x], интегрирование же подразумевается отдельно по ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{N}}$ от ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle +\infty }$ (в случае фиксированных ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{N}}$ по ним интегрировать не нужно).

Корректность уже этого определения находится под вопросом в том смысле, что не доказано даже для многих из тех случаев, которые представляют физический интерес, не говоря уж о более общей постановке вопроса, само существование предела (в частности, его одинаковость при выборе разных типов разбиения; более того, в ряде примеров разные типы дают разный результат) и нет во многих случаях способа указания чётких критериев выбора «правильного» типа разбиения, который приведёт именно к нужному результату, а значит корректность определения меры интегрирования не доказана даже для многих из тех случаев, которые представляют физический интерес, по крайней мере в обычном смысле.

Также серьёзную трудность представляет точное вычисление таких интегралов (за исключением гауссова случая).

Тем не менее, уже то, что точно вычисляются хотя бы интегралы гауссова типа, даёт очень много для применения метода функционального интегрирования. В частности, этот результат можно принять за определение функционального интеграла для этого случая и доказать, что, будучи так определённым, он действительно обладает свойствами интеграла: допускает интегрирование по частям, замены переменных и т. д.[2]

Физический смысл функционального интеграла сводится обычно к тому, чтобы вычислить сумму (суперпозицию) некоторой величины (обычно это вероятность для классической статфизики или амплитуда вероятности для квантовой механики) по «всем» траекториям (то есть по всем доступным классической частице в случае броуновского движения и по всем, какие можно вообразить, в случае квантовой механики).