Квантовая теория поля

Линии магнитного поля визуализируемые с помощью железных опилок. Когда лист бумаги посыпают железными опилками и помещают над стержневым магнитом, то опилки выравниваются в соответствии с направлением магнитного поля, образуя дуги.

В основе квантовой теории поля лежат классическая теория поля, квантовая механика и специальная теория относительности[12][13]. Ниже приводится краткий обзор этих теорий-предшественников.

В основе самой ранней успешной классической теории поля лежал закон всемирного тяготения Ньютона, несмотря на полное отсутствие концепции полей в его трактате 1687 года Philosophi Naturalis Principia Mathematica[14]. Сила тяжести, описанная Ньютоном, представляет собой «действие на расстоянии», и её влияние на далёкие объекты происходит мгновенно, независимо от расстояния. Однако в переписке с Ричардом Бентли Ньютон заявил, что «немыслимо, чтобы неодушевленная грубая материя без посредничества чего-то ещё, что не является материальным, действовала бы на другую материю и влияла на неё без взаимного контакта»[15]. Только в 18 веке физики-теоретики открыли удобное описание гравитации на основе полей — числовую величину (вектор), присвоенную каждой точке пространства, указывающую действие гравитации на любую пробную частицу в этой точке. Однако это считалось просто математическим трюком[14].

Понятие о полях обрело более формальное описание с развитием электромагнетизма в 19 веке. Майкл Фарадей ввёл английский термин «поле» в 1845 году. Он представил поля как свойства пространства (даже если оно лишено материи), обладающее физическими эффектами. Фарадей выступал против «действия на расстоянии» и предполагал, что взаимодействия между объектами происходят через заполняющие пространство «силовые линии». Это описание полей сохранилось по сей день[15][16]^:301[17]^:2.

Теория классического электромагнетизма приобрела завершённую форму в 1864 году в виде уравнений Максвелла, которые описывали взаимосвязь между электрическим полем, магнитным полем, электрическим током и электрическим зарядом. Уравнения Максвелла подразумевали существование электромагнитных волн, явления, при котором электрические и магнитные поля распространяются из одной точки пространства в другую с конечной скоростью, которая оказалась скоростью света. Таким образом, действие на расстоянии было окончательно опровергнуто[18]^:19[19].

Несмотря на огромный успех классического электромагнетизма, он не смог объяснить ни дискретных линий в атомных спектрах, ни распределение излучения чёрного тела на разных длинах волн[20]. Исследование Максом Планком излучения абсолютно чёрного тела положило начало квантовой механике. Он рассматривал атомы, которые поглощают и излучают электромагнитное излучение, как крошечные осцилляторы, энергия которых может принимать только серию дискретных, а не непрерывных значений. Сегодня они известны как квантовые гармонические осцилляторы. Этот процесс ограничения энергии дискретными значениями называется квантованием[21]^:Ch.2. Основываясь на этой идее, Альберт Эйнштейн в 1905 году предложил объяснение фотоэлектрического эффекта, согласно которому свет состоит из отдельных пакетов энергии, называемых фотонами (квантами света). Это означало, что электромагнитное излучение, описываемое в виде волн в классическом электромагнитном поле, также существует в форме частиц[22][23].

В том же году, когда была опубликована статья о фотоэлектрическом эффекте, Эйнштейн опубликовал свою специальную теорию относительности, пересекающуюся с теорией электромагнетизма Максвелла. Новые правила, называемые преобразованием Лоренца, описывали изменение временных и пространственных координат событий при изменении скорости наблюдателя, и различие между временем и пространством было размыто. Он предположил, что все физические законы должны быть одинаковыми для наблюдателей, движущихся при различных скоростях, то есть, что физические законы инвариантны относительно преобразований Лоренца[19].

В 1913 году Нильс Бор представил модель атомной структуры, в которой электроны внутри атомов могут принимать только серию дискретных, а не непрерывных энергий[23]. Это ещё один пример квантования. Модель Бора успешно объяснила дискретную природу спектральных линий атомов. В 1924 году Луи де Бройль выдвинул гипотезу дуальности волна-частица, согласно которой микроскопические частицы проявляют как волнообразные, так и частицы-подобные свойства при различных обстоятельствах[22]. Объединив эти различные идеи, между 1925 и 1926 годами была сформулирована новая научная теория, квантовая механика, существенный вклад в которую внесли Макс Планк, Луи де Бройль, Вернер Гейзенберг, Макс Борн, Эрвин Шрёдингер, Поль Дирак и Вольфганг Паули[24].

Остались две трудности. С экспериментальной точки зрения, уравнение Шрёдингера, лежащее в основании квантовой механики, могло объяснить вынужденное излучение атомов, когда электрон испускает новый фотон под действием внешнего электромагнитного поля, но оно не могло объяснить спонтанное излучение, при котором энергия электрона спонтанно уменьшается и происходит излучение фотона даже без действия внешнего электромагнитного поля. Теоретически уравнение Шредингера не могло описывать фотоны и несовместимо с принципами специальной теории относительности — оно рассматривает время как обычное число, одновременно представляя пространственные координаты линейными операторами[25][26].

Квантовая теория поля началась с изучения электромагнитных взаимодействий, поскольку электромагнитное поле было единственным известным классическим полем в 1920-х годах[27].

Благодаря работам Борна, Гейзенберга и Паскуаля Йордана в 1925—1926 годах была разработана квантовая теория, описывающая свободное электромагнитное поле (не взаимодействующего с материей), используя канонического квантования, и рассматривая электромагнитное поле как набор квантовых гармонических осцилляторов. Если не учитывать взаимодействия такая теория ещё не в состоянии сделать количественные предсказания о реальном мире[28].

В своей основополагающей статье 1927 года «Квантовая теория испускания и поглощения излучения» (англ. The quantum theory of the emission and absorption of radiation) Дирак ввёл термин квантовая электродинамика (КЭД), теория, которая добавляет к условиям, описывающим свободное электромагнитное поле, дополнительный член взаимодействия между плотностью электрического тока и электромагнитным векторным потенциалом[29]. Используя теорию возмущений первого порядка, он успешно объяснил явление спонтанного излучения. Согласно принципу неопределенности, квантовые гармонические осцилляторы не могут оставаться неподвижными, но они обладают ненулевым минимумом энергии и всегда должны колебаться, даже в состоянии с самой низкой энергией (в основном состоянии). Следовательно, даже в идеальном вакууме остаётся колеблющееся электромагнитное поле с нулевой энергией. Именно такие квантовые флуктуации электромагнитных полей в вакууме «стимулируют» спонтанное излучение электронов в атомах. Теория Дирака[30] оказалась чрезвычайно успешной в объяснении как испускания, так и поглощения излучения атомами. Применяя теорию возмущений второго порядка, он смог учесть рассеяние фотонов и объяснил другие квантовые эффекты, такие как резонансная флуоресценция, нерелятивистское комптоновское рассеяние. Тем не менее, применение теории возмущений более высокого порядка столкнулось с бесконечностями в вычислениях[29].

В 1928 году Дирак записал волновое уравнение, описывающее релятивистские электроны — уравнение Дирака. Оно имело важные следствия: спин электрона равен 1/2; g-фактор электрона равен 2. Это привело к правильной формуле Зоммерфельда для тонкой структуры атома водорода; и уравнение Дирака можно использовать для вывода формулы Клейна — Нисины, описывающей релятивистское комптоновское рассеяние. Хотя результаты согласовались с теорией, но также в теории предполагалось существование состояний с отрицательной энергией, которые могли бы сделать атомы нестабильными, поскольку они, в этом случае, всегда могли распадаться на состояния с более низкой энергией с излучением[31].

В то время преобладало мнение, что мир состоит из двух очень разных ингредиентов: материальных частиц (таких как электроны) и квантовых полей (таких как фотоны). Материальные частицы считались вечными, а их физическое состояние описывалось вероятностями нахождения каждой частицы в любой заданной области пространства или диапазоне скоростей. С другой стороны, фотоны считались просто возбуждёнными состояниями лежащего в основе квантованного электромагнитного поля и могли свободно рождаться или уничтожаться. Между 1928 и 1930 годами Йордан, Юджин Вигнер, Гейзенберг, Паули и Энрико Ферми обнаружили, что материальные частицы также можно рассматривать как возбуждённые состояния квантовых полей. Как фотоны являются возбуждёнными состояниями квантованного электромагнитного поля, так и каждому типу частиц соответствует своё квантовое поле: электронное поле, протонное поле и так далее. Имея достаточно энергии, теперь можно было бы создавать материальные частицы. Основываясь на этой идее, Ферми в 1932 году предложил объяснение бета-распада, известное как взаимодействие Ферми. Ядра атомов не содержат электронов сами по себе, но в процессе распада электрон создаётся из окружающего электронного поля, аналогично фотону, рождённому из окружающего электромагнитного поля при радиационном распаде возбуждённого атома[32].

В 1930 году Дирак и другие поняли, что состояния с отрицательной энергией, появляющиеся из решений уравнения Дирака, можно интерпретировать как частицы с той же массой, что и электроны, но с противоположным электрическим зарядом. Это не только обеспечило стабильность атомов, но и стало первым предсказанием существования антивещества. Действительно, позитроны были обнаружены в 1932 году Карлом Дэвидом Андерсоном в космических лучах[32]. При наличии достаточного количества энергии, например, путём поглощения фотона, можно создать электрон-позитронную пару, процесс, называемый рождением пары; обратный процесс, аннигиляция, также может происходить с испусканием фотона. Это показало, что количество частиц не обязательно остаётся фиксированным во время взаимодействия. Однако исторически позитроны сначала рассматривались как «дырки» в бесконечном электронном море, а не как частицы нового типа, и эта теория получила название дырочной теории Дирака[33]. КТП естественным образом включает античастицы в свой формализм[34].

Роберт Оппенгеймер показал в 1930 году, что пертурбативные вычисления в более высоких порядках КЭД всегда приводят к бесконечным величинам, например для собственно-энергетической части электрона и нулевой энергии вакуума для электронного и фотонного полей[35]. Это означало, что существующие вычислительные методы не могли должным образом справиться с взаимодействиями, в которых принимали участие фотоны с чрезвычайно высокими импульсами[36]. Проблема нашла решение 20 лет спустя, когда был разработан системный подход к устранению таких бесконечностей.

Между 1934 и 1938 годами Эрнст Штюкельберг опубликовал серию статей, в которых была представлена релятивистски инвариантная формулировка КТП. В 1947 году Штюкельберг также независимо разработал полную процедуру перенормировки для устранения расходимостей. Эти достижения не были поняты и признаны теоретическим сообществом[37].

Столкнувшись с этими бесконечностями, Джон Арчибальд Уиллер и Гейзенберг предложили в 1937 и 1943 годах соответственно заменить проблематичную КТП так называемой теорией S-матриц. Поскольку конкретные детали микроскопических взаимодействий недоступны для наблюдений, теория должна пытаться описать только отношения между небольшим количеством наблюдаемых (например, энергией атома) во взаимодействии, а не заниматься микроскопическими деталями взаимодействия. В 1945 году Ричард Фейнман и Уиллер смело предложили полностью отказаться от КТП и предложили действие на расстоянии в качестве механизма взаимодействия частиц[38][39].

В 1947 году Уиллис Лэмб и Роберт Ретерфорд измерили малую разницу в энергетических уровнях ²S_1/2 и ²P_1/2 атома водорода, также названную лэмбовским сдвигом. Пренебрегая вкладом фотонов, энергия которых превышает массу электрона, Ганс Бете успешно оценил численное значение этой разницы[37][40]. Впоследствии Норман Кролл, Лэмб, Джеймс Френч, и Виктор Вайскопф использовали другой метод для вывод, в котором бесконечности взаимно сокращались и получалась конечная величина. Однако применённый метод был громоздким и ненадёжным, и его нельзя было обобщить на другие вычисления[41][42].

Прорыв в конечном итоге произошёл примерно в 1950 году, когда Джулиан Швингер, Ричард Фейнман, Фримен Дайсон и Синъитиро Томонага разработали более приемлемый метод устранения бесконечностей. Его основная идея состоит в замене вычисленных значений массы и заряда электрона, какими бы бесконечными они ни были, их конечными экспериментальными значениями. Эта систематическая вычислительная процедура известна как перенормировка и может применяться к произвольному порядку в теории возмущений[43]. Как сказал Томонага в своей Нобелевской лекции[44]:

Поскольку эти части модифицированной массы и заряда из-за полевых вкладов [становятся бесконечными], их невозможно вычислить с помощью теории. Однако масса и заряд, наблюдаемые в экспериментах, являются не исходной массой и зарядом, а массой и зарядом, изменёнными полевыми вкладами, и они конечны. С другой стороны, масса и заряд, фигурирующие в теории, являются… значениями, модифицированными полевыми вкладами. Поскольку это так, и, в частности, поскольку теория не может вычислить модифицированные массу и заряд, мы можем принять процедуру феноменологической подстановки их экспериментальных значений… Эта процедура называется перенормировкой массы и заряда … После долгих и кропотливых вычислений, менее искусных, чем у Швингера, мы получили результат … который согласуется с американцами.

Оригинальный текст (англ.)[показатьскрыть]

Since those parts of the modified mass and charge due to field reactions [become infinite], it is impossible to calculate them by the theory. However, the mass and charge observed in experiments are not the original mass and charge but the mass and charge as modified by field reactions, and they are finite. On the other hand, the mass and charge appearing in the theory are… the values modified by field reactions. Since this is so, and particularly since the theory is unable to calculate the modified mass and charge, we may adopt the procedure of substituting experimental values for them phenomenologically... This procedure is called the renormalization of mass and charge… After long, laborious calculations, less skillful than Schwinger's, we obtained a result... which was in agreement with [the] Americans.

Применяя процедуры перенормировки, были окончательно проведены расчёты, объясняющие аномальный магнитный момент электрона (отклонение g-фактора электрона от 2) и поляризацию вакуума. Эти результаты в значительной степени совпадали с экспериментальными измерениями, что знаменовало конец «войны с бесконечностями»[41].

В то же время Фейнман ввёл в обиход формулировку квантовой теории через интегралы по путям и диаграммы Фейнмана[45]. Последние используются для визуальных вычислений в теории возмущений. Каждую диаграмму можно интерпретировать как пути частиц и их взаимодействия, причём каждой вершине и линии ставится в соответствие математическое выражение, а произведение этих выражений даёт амплитуду рассеяния процесса, представленного диаграммой[46].

Именно с изобретением процедуры перенормировки и диаграммной техники Фейнмана КТП получила законченную теоретическую основу[45].

Учитывая огромный успех КЭД, многие теоретики в течение нескольких лет после 1949 года полагали, что КТП вскоре сможет обеспечить понимание всех микроскопических явлений, а не только взаимодействий между фотонами, электронами и позитронами. Вопреки этому оптимизму, КТП вступила в очередной период депрессии, который длился почти два десятилетия[47].

Первым препятствием оказалось ограниченная применимость процедуры перенормировки. В пертурбативных вычислениях в КЭД все бесконечные величины можно исключить путём переопределения небольшого (конечного) числа физических величин (а именно массы и заряда электрона). Дайсон доказал в 1949 году, что это возможно только для небольшого класса теорий, называемых «перенормируемыми теориями», примером которых является КЭД. Однако большинство теорий, включая теорию слабого взаимодействия Ферми, «неперенормируемы». Любое пертурбативное вычисление в этих теориях за пределами первого порядка привело бы к бесконечностям, которые нельзя было бы избегать путём переопределения конечного числа физических параметров теории[47].

Вторая серьёзная проблема возникает из ограниченной применимости метода диаграмм Фейнмана, который основан на разложении в ряд в теории возмущений. Для сходимости рядов и для существования хороших приближений только в приближении низкого порядка, константа связи, по которому происходит разложение, должна быть достаточно малым числом. Константа связи в КЭД — это постоянная тонкой структуры α ≈ 1/137, которая достаточно мала, чтобы в реалистичных расчётах учитывать только простейшие диаграммы Фейнмана низшего порядка. Напротив, константа связи при сильном взаимодействии примерно равна единице, что делает сложные диаграммы Фейнмана более высокого порядка столь же важными, как и простые. Таким образом, не оказалось возможности получить надёжные количественные предсказания в задачах с сильным взаимодействием при использованием пертурбативных методов КТП[48].

Когда возникли эти трудности, многие теоретики начали отворачиваться от КТП. Одни сосредоточились на принципах симметрии и законах сохранения, другие взяли старую теорию S-матрицы Уиллера и Гейзенберга. КТП использовалась эвристически как руководящий принцип, но не как основа для количественных расчётов[48].

Швингер, однако, пошёл другим путем. Более десяти лет он и его ученики были почти единственными учёными последовательно продвигающими теорию поля, но в 1966 году он нашёл способ обойти проблему бесконечностей с помощью нового метода, который он назвал теорией источников, которая представляла собой феноменологическую теорию и не использовала полевые операторы[49][50]. Развитие физики пионов, в которой новая точка зрения наиболее успешно применялась, убедило его в огромных преимуществах математической простоты и концептуальной ясности, которые даёт её использование[51]. В теории источников нет расхождений и перенормировок. Её можно рассматривать как вычислительный инструмент теории поля, но она носит более общий характер[52]. Используя теорию источников, Швингер смог вычислить аномальный магнитный момент электрона в 1947 году, но на этот раз без «отвлекающих замечаний» о бесконечных величинах[53]. Швингер также применил теорию источников к своей КТП теории гравитации и смог воспроизвести все четыре классических результата Эйнштейна: гравитационное красное смещение[54], отклонение и замедление света под действием силы тяжести[55] и прецессию перигелия Меркурия[56]. Пренебрежение физическим сообществом теории источников стало большим разочарованием для Швингера[51]:

Непонимание этих фактов другими было удручающим, но понятным.

Оригинальный текст (англ.)[показатьскрыть]

The lack of appreciation of these facts by others was depressing, but understandable.

Элементарные частицы Стандартной модели: шесть типов кварков, шесть типов лептонов, четыре типа калибровочных бозонов, несущих фундаментальные взаимодействия, а также бозон Хиггса, который наделяет элементарные частицы массой.

В 1954 году Ян Чжэньнин и Роберт Миллс обобщили локальную симметрию КЭД, что привело к созданию неабелевых калибровочных теорий (также известным как теории Янга — Миллса), основанных на более сложных локальных группах симметрии[57]. В КЭД (электрически) заряженные частицы взаимодействуют посредством обмена фотонами, тогда как в неабелевой калибровочной теории частицы, несущие новый тип «заряда», взаимодействуют посредством обмена безмассовыми калибровочными бозонами. В отличие от фотонов, эти калибровочные бозоны сами несут заряд[58][59].

Шелдон Глэшоу разработал неабелеву калибровочную теорию, объединившую электромагнитное и слабое взаимодействия в 1960 году. В 1964 году Абдус Салам и Джон Клайв Уорд пришли к той же теории другим путём. Тем не менее эта теорию была неперенормируемой[60].

Питер Хиггс, Роберт Браут, Франсуа Энглерт, Джеральд Гуральник, Карл Хаген и Том Киббл в своих знаменитых статьях Physical Review Letters предложили, что калибровочная симметрия в теориях Янга — Миллса нарушается с помощью механизма, называемого спонтанным нарушением симметрии, благодаря которому калибровочные бозоны могут приобретать массу[61].

Объединив более раннюю теорию Глэшоу, Салама и Уорда с идеей спонтанного нарушения симметрии, Стивен Вайнберг в 1967 году создал теорию, описывающую электрослабые взаимодействия между всеми лептонами и эффекты бозона Хиггса. Его теория была вначале проигнорирована[60][57], пока интерес к ней не вернул в 1971 году Герард т’Хоофта, который доказал перенормируемость неабелевых калибровочных теорий. Теория электрослабового взаимодействия Вайнберга и Салама была обобщена для включения кварков в 1970 году Глэшоу, Джоном Илиопулосом и Лучано Майани, что ознаменовало её завершение[60].

Харальд Фрич, Мюррей Гелл-Манн и Генрих Лойтвайлер в 1971 году обнаружили, что некоторые явления, связанные с сильным взаимодействием, также могут быть объяснены в рамках неабелевой калибровочной теории. Так появилась квантовая хромодинамика (КХД). В 1973 году Дейвид Гросс, Фрэнк Вильчек и Хью Дейвид Политцер показали, что неабелевы калибровочные теории «асимптотически свободны», когда при перенормировке константа связи сильного взаимодействия уменьшается с увеличением энергии взаимодействия. Подобные открытия были сделаны несколько раз в прошлом, но они оказались незамечены[62]. Таким образом, по крайней мере, при высоких энергиях, константа связи в КХД становится достаточно малой, чтобы гарантировать разложение в ряд теории возмущений, что приводит возможности получения количественных оценок для сильного взаимодействия[58].

Эти теоретические открытия привели к возрождению КТП. Полная теория, включающая теорию электрослабого взаимодействия и хромодинамику, сегодня называется Стандартной моделью элементарных частиц[63]. Стандартная модель успешно описывает все фундаментальные взаимодействия, кроме гравитации, а её многочисленные предсказания получили замечательное экспериментальное подтверждение в последующие десятилетия[64]. Существование бозона Хиггса, который занимает центральное место в механизме спонтанного нарушения симметрии, было окончательно подтверждено в 2012 году экспериментами в ЦЕРНе, подводя итог полной проверке всех составляющих стандартной модели[65].

В 1970-х годах появились непертурбативные методы в неабелевых калибровочных теориях. Монополь 'т Хоофта — Полякова был открыт теоретически 'т Хофтом и Александром Поляковым, трубки потока Хольгером Беком Нильсеном и Полом Олесеном, инстантоны Поляковым и соавторами. Исследование этих объектов недоступно с помощью теории возмущений[66].

Суперсимметрия также появилась в то же время. Первая суперсимметричная КТП в четырёх измерениях была построена Юрием Гольфандом и Евгением Лихтманом в 1970 году, но их результат не вызвал широкого интереса из-за «железного занавеса». Суперсимметрия получила широкое распространение в теоретическом сообществе только после работы Юлиуса Весса и Бруно Зумино в 1973 году[67].

Среди четырёх фундаментальных взаимодействий гравитация остаётся единственным, которому не хватает последовательного описания в рамках КТП. Различные попытки создания теории квантовой гравитации привели к развитию теории струн[68], которая сама относится к типу двумерной КТП с конформной симметрией[69]. Джоэль Шерк и Джон Шварц впервые предложили в 1974 году, что теория струн может быть квантовой теорией гравитации[70].

Хотя квантовая теория поля возникла в результате изучения взаимодействий между элементарными частицами, то есть используется для расстояний много меньших атомарным, она успешно применяется к другим физическим системам, особенно к многочастичным системам в физике конденсированного состояния. Исторически механизм спонтанного нарушения симметрии Хиггса был результатом применения Ёитиро Намбу теории сверхпроводников к элементарным частицам, в то время как концепция перенормировки возникла благодаря исследованиям фазовых переходов второго рода в веществе[71].

Вскоре после введения фотонов Эйнштейн выполнил процедуру квантования колебаний в кристалле, что привело к появлению первой квазичастицы в твёрдом теле — фонона. Лев Ландау утверждал, что низкоэнергетические возбуждения во многих системах конденсированной материи можно описывать в терминах взаимодействий между набором квазичастиц. Диаграммный метод КТП Фейнмана, естественно, хорошо подходил для анализа различных явлений в системах конденсированных сред[72]. Калибровочная теория используется для описания квантования магнитного потока в сверхпроводниках, удельного сопротивления в квантовом эффекте Холла, а также связи между частотой и напряжением при нестационарном эффекте Джозефсона для переменного тока[72].

Классическое поле является функцией пространственных и временных координат[73]. Примеры включают гравитационное поле в ньютоновской гравитации g(x, t), электрическое поле E(x, t) и магнитное поле B(x, t) в классической электродинамике. Классическое поле можно рассматривать как числовую величину, приписываемую каждой точке пространства, которая изменяется во времени. Следовательно, оно имеет бесконечно много степеней свободы[K 1][73].

В лагранжевой механике функция Лагранжа L является функцией времени и динамических переменных системы и записывается в виде суммы по всем материальным точкам системы[74]. В случае непрерывной системы, каковым является поле — центрального понятия теороии[75], сумма заменяется пространственным интегралом от плотности функции Лагранжа — лагранжевой плотности ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle L(t)=L(x^{0})=\int {\mathcal {L}}(x^{0},\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} \,,}$

где жирным шрифтом выделены пространственные компоненты 4-вектора координат, а нулевая компонента — время. Поэтому в теории поля лагранжианом называют обычно лагранжеву плотность[76][77]. Действие ${\displaystyle S}$ по определению есть интеграл по времени от лагранжиана[74]

${\displaystyle S=\int dtL(t)=\int dx^{0}d^{3}\mathbf {x} {\mathcal {L}}(x^{0},\mathbf {x} )=\int d^{4}x{\mathcal {L}}(x)\,,}$

то есть действие в теории поля есть четырёхмерный интеграл от лагранжевой плотности по четырёхмерному пространству-времени[74].

Поле описывается полевой функцией ${\displaystyle \psi (x)}$ (выступает в качестве динамической переменной), которое может быть вещественной или комплексной скалярной (псевдоскалярной), векторной, спинорной или иной функцией. В теории поля предполагается, что лагранжиан зависит только от динамических переменных — от полевой функции и её производных, то есть отсутствует явная зависимость от координат (явная зависимость от координат нарушает релятивистскую инвариантность). Локальность теории требует, чтобы лагранжиан содержал конечное количество производных и не содержал, например, интегральных зависимостей. Более того, чтобы получить дифференциальные уравнения не выше второго порядка (в целях соответствия классической механике) предполагается, что лагранжиан зависит только от полевой функции и её первых производных[78]

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}(\psi (x),\partial _{\nu }{\psi }(x))\,.}$

Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона) означает, что реальное изменение состояния системы происходит таким образом, чтобы действие было стационарным (вариация действия равна нулю). Этот принцип позволяет получить полевые уравнения движения — уравнения Эйлера — Лагранжа[K 2][76][78]:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\psi )}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}\,.}$

Поскольку физические свойства системы определяются действием, в котором лагранжиан является подынтегральным выражением, то данному лагранжиану соответствует единственное действие, но не наоборот. А именно, лагранжианы, отличающиеся друг от друга полной 4-дивергенцией некоторого 4-вектора ${\displaystyle {\mathcal {L}}'(x)={\mathcal {L}}(x)+\partial _{\nu }f^{\nu }(x)}$, физически эквивалентны[78].

Лагранжиан системы невзаимодействующих (свободных) полей есть просто сумма лагранжианов отдельных полей. Уравнения движения для системы свободных полей — это совокупность уравнений движения отдельных полей. Взаимодействие полей учитывается в лагранжиане добавлением дополнительных нелинейных слагаемых. Таким образом, полный лагранжиан системы взаимодействующих полей является суммой свободного лагранжиана${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$ и лагранжиана взаимодействия ${\displaystyle {\mathcal {L_{I}}}}$[79]:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{0}+{\mathcal {L_{I}}}\,.}$

Введение лагранжиана взаимодействия приводит к неоднородности и нелинейности уравнений движения. Лагранжианы взаимодействия обычно являются полиномиальными функциями участвующих полей (степени не ниже третьей), умноженные на некоторую числовую константу — так называемую константу связи. Лагранжиан взаимодействия может быть пропорционален третьей или четвёртой степени самой полевой функции, произведению различных полевых функций[80].

От лагранжева формализма можно перейти к гамильтоновому по аналогии с лагранжевой и гамильтоновой механикой. Полевая функция ${\displaystyle \psi (t,\mathbf {x} )}$ здесь выступает в качестве обобщённой (канонической) координаты. Соответственно необходимо определить также и обобщённую (каноническую) плотность импульса, сопряжённую этой координате согласно стандартной формуле[81][82][77]:

${\displaystyle \pi (t,\mathbf {x} )={\frac {{\partial }{\mathcal {L}}(\psi ,\partial _{\nu }{\psi })}{{\partial }{\dot {\psi }}(t,\mathbf {x} )}}\,.}$

Тогда плотность гамильтониана поля равена по определению[81]

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\pi {\dot {\psi }}-{\mathcal {L}}\,.}$

Уравнения движения в гамильтоновом подходе имеют вид[83]:

${\displaystyle {\dot {\psi }}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \pi }},{\dot {\pi }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \psi }}\,.}$

Динамика любых величин ${\displaystyle F(\psi ,\pi )}$ в рамках гамильтонова формализма подчиняются следующему уравнению:

${\displaystyle {\dot {F}}=\{F,{\mathcal {H}}\}\,,}$

где фигурными скобками обозначена скобка Пуассона[83]. При этом для самих функций ${\displaystyle \psi }$ и ${\displaystyle \pi }$ выполнено следующее[82][84]:

${\displaystyle \{\psi (\mathbf {x} ,t),\pi (\mathbf {y} ,t)\}=1,\{\psi (\mathbf {x} ,t),\psi (\mathbf {y} ,t)\}=\{\pi (\mathbf {x} ,t),\pi (\mathbf {y} ,t)\}=0\,.}$

Соотношения с участием скобок Пуассона обычно и являются основой для квантования полей, когда полевые функции заменяются соответствующими операторами, а скобки Пуассона — на коммутатор операторов[85].

Симметриями в квантовой теории поля называются преобразования координат и (или) полевых функций, относительно которых инвариантны уравнения движения, а значит, инвариантно действие. Сами преобразования при этом образуют группу[86]. Симметрии называются глобальными, если соответствующие преобразования не зависят от 4-координат[87]. В противном случае говорят о локальных симметриях[88][89]. Симметрии могут быть дискретными или непрерывными[90]. В последнем случае группа преобразований является непрерывной (топологической), то есть в группе задана топология, относительно которой групповые операции непрерывны[91]. В квантовой теории поля однако обычно используется более узкий класс групп — группы Ли, в которых введена не только топология, но и структура дифференцируемого многообразия. Элементы таких групп можно представить как дифференцируемые (голоморфные или аналитические) функции конечного числа параметров. Группы преобразований обычно рассматриваются в некотором представлении — элементам групп соответствуют операторные (матричные) функции параметров[92].

Наиболее важное значение имеют следующие виды преобразования[93]:

• ${\displaystyle C}$ — Зарядовое сопряжение — замена полевых функций на сопряжённые.
• ${\displaystyle P}$ — Чётность — изменение знаков пространственных компонент на противоположный.
• ${\displaystyle T}$ — Обращение времени — изменение знака временной компоненты.

Доказано, что в локальной квантовой теории поля имеет место ${\displaystyle CPT}$-симметрия, то есть инвариантность относительно одновременного применения этих трёх преобразований[94].

Согласно теореме Нётер инвариантность функционала действия относительно ${\displaystyle s}$-параметрической группы преобразований приводит к ${\displaystyle s}$ динамическим инвариантам поля, то есть к законам сохранения. А именно, пусть преобразование координат осуществляется с помощью функций ${\displaystyle F^{\mu }(x,\omega )}$, а полевой функции — с помощью функции ${\displaystyle U(x,\omega )}$, где ${\displaystyle {\omega }}$ — совокупность ${\displaystyle s}$ параметров. Обозначим ${\displaystyle u_{k}}$ значение производной функции ${\displaystyle U}$ по ${\displaystyle k}$-му параметру при нулевом значении параметров, а через ${\displaystyle f_{k}^{\mu }}$ — значения производных функций ${\displaystyle F^{\mu }(x,\omega )}$ по ${\displaystyle k}$-му параметру при нулевом значении параметров. Указанные величины по существу являются генераторами соответствующих групп преобразований[95].

Тогда нётеровские токи, определённые как[96]

${\displaystyle J_{k}^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}(\partial _{\nu }\psi f_{k}^{\nu }-u_{k})-f_{k}^{\mu }{\mathcal {L}}}$

обладают свойством ${\displaystyle \partial _{\mu }J_{k}^{\mu }=0}$. Сохраняющимися во времени величинами («нётеровскими зарядами») являются пространственные интегралы по нулевой компоненте токов[97]

${\displaystyle C_{k}=\int J_{k}^{0}d^{3}x\,.}$

Фундаментальной симметрией, присущей всем квантово-полевым теориям, является релятивистская инвариантность — инвариантность относительно неоднородной группы Лоренца (группы Пуанкаре), то есть относительно пространственно-временных трансляций и лоренцевых вращений[98]. Ещё одной глобальной симметрией для комплексных полей является глобальная калибровочная симметрия — симметрия относительно однопараметрической группы ${\displaystyle U(1)}$ — группы умножений на ${\displaystyle e^{i\alpha }}$. Она связана с требованием вещественности лагранжиана и наблюдаемых физических величин, что приводит к зависимости от комплексных полей только через квадратичные формы, представляющие собой произведения взаимно комплексно-сопряжённых функций и их производных. Поэтому умножение на унитарный фазовый множитель ${\displaystyle e^{i\alpha }}$ не приводит к каким-либо изменениям[99].

Ниже в таблице приведены общие выражения для нётеровских токов и зарядов для основных глобальных симметрий и соответствующих законов сохранения.

Симметрия	Нётеровские токи	Нётеровские заряды и законы сохранения
Пространственно-временные трансляции[100][101]	Тензор энергии-импульса: ${\displaystyle T_{\nu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\partial _{\nu }\psi -{\delta }_{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}}$. В частности ${\displaystyle {\mathcal {H}}=T_{0}^{0}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}\partial _{0}\psi -{\mathcal {L}}}$ — гамильтониан (плотность) поля.	Закон сохранения 4-импульса: ${\displaystyle P^{\nu }=\int T^{0\nu }d^{3}x}$, в частности энергии (гамильтониана) ${\displaystyle H=P^{0}}$
Лоренцевы вращения[102][103]	Тензор (полного) момента ${\displaystyle M^{\tau (\rho \sigma )}=M_{0}^{\tau (\rho \sigma )}+S^{\tau (\rho \sigma )}}$, где ${\displaystyle M_{0}^{\tau (\rho \sigma )}=x^{\sigma }T^{\rho \tau }-x^{\rho }T^{\sigma \tau }}$ — тензор орбитального момента, ${\displaystyle S^{\tau (\rho \sigma )}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\tau }\psi _{i})}}A_{i}^{j(\rho \sigma )}\psi _{j}}$ — тензор спинового момента (спина), где ${\displaystyle A_{i}^{j(\rho \sigma )}}$ — параметры преобразования полевых функций при лоренцевых вращениях. Для скалярных полей ${\displaystyle S^{\tau (\rho \sigma )}=0}$	Закон сохранения полного момента ${\displaystyle M^{\rho \sigma }=M_{0}^{\rho \sigma }+S^{\rho \sigma }}$ — пространственного интеграла от ${\displaystyle M^{0(\rho \sigma )}}$
Глобальная калибровочная симметрия ${\displaystyle U(1)}$[104]	4-вектор заряженного тока: ${\displaystyle J^{\mu }=i\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi ^{*})}}\psi ^{*}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\psi \right)}$. Для вещественных полей равны нулю.	Закон сохранения заряда (электрический заряд, барионный заряд, странность, очарование и т. д.): ${\displaystyle Q=\int J^{0}d^{3}\mathbf {x} }$[105]. Для вещественных полей равен нулю.

Ниже в таблице приведены описание и основные характеристики простейших полей, являющихся базовыми при построении реальных квантово-полевых теорий — скалярные, векторные и спинорные поля.

Характеристика	Скалярное поле[106]	Векторное поле[107]	Спинорное поле[108]
Полевая функция	${\displaystyle \phi (x)=\phi _{1}(x)+i\phi _{2}(x)}$ — в общем случае комплексная функция. ${\displaystyle \phi ^{*}(x)}$ — комплексно-сопряжённая функция. Если ${\displaystyle \phi ^{*}(x)=\phi (x)}$ (то есть ${\displaystyle \phi _{2}(x)=0}$), то имеем вещественное скалярное поле ${\displaystyle \phi _{1}(x)}$ (переобозначив её просто как ${\displaystyle \phi (x)}$)	${\displaystyle A^{\mu }(x)}$ — векторная функция (4-вектор), в общем случае с комплексными компонентами (заряженное векторное поле). Вещественное (нейтральное) векторное поле получается из условия равенства ${\displaystyle A_{\mu }^{*}=A_{\mu }}$ (комплексное поле приравнивается тогда к вещественному, делённому на ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$)	${\displaystyle \psi (x)}$-четырёхкомпонентная функция (биспинор)-столбец, ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{*}\gamma ^{0}}$ — дираковски сопряжённая четырёхкомпонентная функция-строка, ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ — матрицы Дирака
Характер описываемых частиц	Частица со спином 0. Для вещественного поля — нейтральная, для комплексного — заряженная.	Частицы со спином 1 (проекции ${\displaystyle 0,\pm 1}$), заряженные или нейтральные	Заряженные частицы со спином 1/2 (${\displaystyle \pm 1/2}$)
Лагранжиан ${\displaystyle ({\mathcal {L}})}$	${\displaystyle \partial _{\mu }\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi ={\mathcal {L}}(\phi _{1})+{\mathcal {L}}(\phi _{2})}$, где ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )=\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{2}}$ — лагранжиан для вещественного поля ${\displaystyle \phi }$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }^{*}F^{\mu \nu }+m^{2}A_{\mu }^{*}A^{\mu }}$, где ${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$ Для вещественного поля ${\displaystyle -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}m^{2}A_{\mu }A^{\mu }}$	${\displaystyle {\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi }$
Уравнения движения Эйлера — Лагранжа	${\displaystyle (\partial _{\mu }\partial ^{\mu }-m^{2})\phi =0}$ (уравнение Клейна — Гордона — верно и для сопряжённой функции)	${\displaystyle -(\partial _{\nu }\partial ^{\nu }+m^{2})A^{\mu }+\partial ^{\mu }\partial _{\nu }A^{\nu }=0}$ (Уравнение Прока) Дифференцирование по ${\displaystyle x^{\mu }}$ приводит (если ${\displaystyle m\neq 0}$) к ${\displaystyle \partial _{\nu }A^{\nu }=0}$. С этим условием (Лоренца) ${\displaystyle (\partial _{\nu }\partial ^{\nu }+m^{2})A^{\mu }=0}$	${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0}$ — уравнение Дирака
Тензор энергии-импульса ${\displaystyle (T^{\mu \nu })}$, гамильтониан ${\displaystyle ({\mathcal {H}}=T^{00})}$, 4-импульс ${\displaystyle (P^{\nu })}$	${\displaystyle \partial ^{\mu }\phi ^{*}\partial ^{\nu }\phi +\partial ^{\nu }\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\pi ^{*}\pi +\nabla \phi ^{*}\nabla \phi +m^{2}\phi ^{*}\phi }$, где ${\displaystyle \pi ={\dot {\phi }}}$, для вещественного поля — ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\pi ^{2}+(\nabla \phi )^{2}+m^{2}\phi ^{2}}$	${\displaystyle F_{*}^{\mu \sigma }\partial ^{\nu }A_{\sigma }+\partial ^{\nu }A_{\sigma }^{*}F^{\mu \sigma }-g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial ^{\nu }\psi -\partial ^{\nu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi )}$, ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {i}{2}}(\psi ^{*}{\dot {\psi }}-{\dot {\psi }}^{*}\psi )}$
4-вектор тока ${\displaystyle (J^{\mu })}$ и заряд ${\displaystyle (Q)}$	${\displaystyle J^{\mu }=i(\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -\phi \partial ^{\mu }\phi ^{*})}$, ${\displaystyle Q=\int d^{3}\mathbf {x} (\phi ^{*}{\dot {\phi }}-\phi {\dot {\phi }}^{*})}$ для вещественного поля равны нулю	${\displaystyle i(A_{\nu }^{*}F^{\mu \nu }-F_{*}^{\mu \nu }A_{\nu })}$	${\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$, ${\displaystyle Q=\int d^{3}\mathbf {x} (\psi ^{*}\psi )}$
Спин-тензор ${\displaystyle (S^{\tau (\mu \nu )})}$	0	${\displaystyle A_{*}^{\mu }F^{\nu \tau }-F_{*}^{\mu \tau }A^{\nu }+F_{*}^{\nu \tau }A^{\mu }-A_{*}^{\nu }F^{\mu \tau }}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}{\bar {\psi }}(\gamma ^{\tau }\sigma ^{\mu \nu }+\sigma ^{\mu \nu }\gamma ^{\tau })\psi }$, где ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\frac {1}{2i}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]}$

Локальные преобразования можно определить как умножение полевой функции на некоторую функцию, зависящую от 4-координат. Например, локальные преобразования группы ${\displaystyle U(1)}$ — фазовое преобразование, зависящее от конкретной пространственно-временной точки, то есть умножение на ${\displaystyle e^{i\alpha (x)}}$. Как отмечалось выше, все комплексные поля симметричны относительно аналогичных глобальных преобразований[109]. Однако они часто неинвариантны относительно локальных преобразований. В частности, описанные выше скалярные и спинорные поля неинвариантны относительно локальных калибровочных преобразований. Причина этого — неинвариантность относительно такого преобразования обычной производной. Если ввести дополнительное поле ${\displaystyle A_{\mu }}$ и заменить производную в лагранжиане на т. н. калибровочно-ковариантную производную

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-ieA_{\mu },}$

то полученный лагранжиан будет инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований[110]. Однако полученный таким образом лагранжиан будет по сути содержать взаимодействие двух полей — исходного и калибровочного ${\displaystyle A_{\mu }}$. По общему правилу в таком случае необходимо ввести в общий лагранжиан также слагаемое, отвечающее за лагранжиан свободного калибровочного поля. Этот лагранжиан тоже должен быть калибровочно инвариантен и выбирается как лагранжиан свободного безмассового векторного поля ${\displaystyle -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$. В итоге, например, для спинорного поля получаем лагранжиан квантовой электродинамики (КЭД)[111]:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{QED}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi +e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu },}$

то есть данный лагранжиан включает лагранжиан свободного спинорного поля Дирака, калибровочного (электромагнитного) поля и лагранжиан взаимодействия этих полей. Если следующее преобразование полей выполняется в каждой точке пространства-времени x (локальное преобразование), то лагранжиан КЭД остаётся неизменным или инвариантным:

${\displaystyle \psi (x)\to e^{i\alpha (x)}\psi (x),\quad A_{\mu }(x)\to A_{\mu }(x)+ie^{-1}e^{-i\alpha (x)}\partial _{\mu }e^{i\alpha (x)},}$

где α(x) — любая функция координат пространства-времени. Если лагранжиан теории (или, точнее, действие) инвариантен относительно некоторого локального преобразования, то это преобразование называется калибровочной симметрией теории[112]. Калибровочные симметрии образуют группу в каждой точке пространства — времени. В случае КЭД последовательное применение двух различных преобразований локальной симметрии ${\displaystyle e^{i\alpha (x)}}$ и ${\displaystyle e^{i\alpha '(x)}}$ — это ещё одно преобразование симметрии ${\displaystyle e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}}$. Для любого α(x), ${\displaystyle e^{i\alpha (x)}}$ — элемент группы U(1), поэтому говорят, что КЭД обладает калибровочной симметрией U(1)[113]. Фотонные поля A_μ могут упоминаться как U(1)-калибровочный бозон.

Аналогичным образом можно написать калибровочно инвариантный лагранжиан комплексного скалярного поля — лагранжиан скалярной КЭД[114]

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{SQED}=(D_{\mu }\phi )^{*}D^{\mu }\phi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\,.}$

Таким образом, требование локальной калибровочной инвариантности лагранжиана относительно фазового преобразования (группа ${\displaystyle U(1)}$) приводит к появлению калибровочного поля, в данном случае — электромагнитного поля, с которым взаимодействует «основное» поле.

U(1) — абелева группа. КТП можно построить для неабелевых групп, которые называют неабелевыми калибровочными теориями[115]. Квантовая хромодинамика — неабелева калибровочная теория с SU(3) группой симметрии. Она описывает дираковкие поля ψⁱ, i = 1,2,3, которые представляют кварковые поля и векторные поля A^a,μ, a = 1,...,8 — глюонные поля, которые являются SU(3) калибровочными бозонами[116]. Лагранжиан КХД имеет вид[117][118]:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}^{i}\gamma ^{\mu }(D_{\mu })^{ij}\psi ^{j}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a,\mu \nu }-m{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{i},}$

где D_μ — калибровочная ковариантная производная :

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}t^{a},}$

где g — константа связи, t^a — восемь генераторов группы SU(3) в фундаментальном представлении (матриц 3×3),

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},}$

f^abc — структурные константы SU(3). По повторяющимся индексам i,j,a происходит неявное суммирование согласно обозначениям Эйнштейна. Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразования:

${\displaystyle \psi ^{i}(x)\to U^{ij}(x)\psi ^{j}(x),\quad A_{\mu }^{a}(x)t^{a}\to U(x)\left[A_{\mu }^{a}(x)t^{a}+ig^{-1}\partial _{\mu }\right]U^{\dagger }(x)\,,}$

где U(x) — элемент SU(3) в каждой точке пространства-времени x:

${\displaystyle U(x)=e^{i\alpha (x)^{a}t^{a}}\,.}$

Указанный подход можно обобщить на случай других локальных групп симметрии[111]. В общем случае это приводит к появлению так называемых калибровочных полей Янга-Миллса. Ковариантная производная в этом случае имеет вид[118]:

${\displaystyle D_{\mu }=I\partial _{\mu }-igT^{a}A_{\mu }^{a},}$

где ${\displaystyle T^{a}}$ — генераторы преобразований соответствующей группы (в случае с U(1) был один генератор, равный единице).

Предыдущее обсуждение симметрий происходит на языке лагранжиана. Другими словами, это «классические» симметрии. После квантования некоторые теории больше не будут демонстрировать свою классическую симметрию — явление, называемое аномалией. Например, в формулировке интеграла по траекториям, несмотря на инвариантность плотности лагранжиана ${\displaystyle {\mathcal {L}}[\phi ,\partial _{\mu }\phi ]}$ при некотором локальном преобразовании полей мера ${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\phi }$ интеграла по траекториям может измениться[119]. Для теории, описывающей природу, чтобы быть последовательным, она не должна содержать каких либо аномалий в калибровочной симметрии. Стандартная модель элементарных частиц — это калибровочная теория, основанная на группе SU(3) × SU(2) × U(1), в которой все аномалии точно сокращаются[120].

Теоретический фундамент общей теории относительности, принцип эквивалентности, также можно понимать как форму калибровочной симметрии, преобразуя общую теорию относительности в калибровочную теорию, основанную на группе Лоренца[121].

Теорема Нётер утверждает, что каждая непрерывная симметрия, то есть параметр в преобразовании симметрии, являющийся непрерывным, а не дискретным, приводит к соответствующему закону сохранения[122][123]}. Например, U(1) симметрии КЭД означает сохранение заряда[124].

Калибровочные преобразования не связывают отдельные квантовые состояния. Скорее, они связывают два эквивалентных математических описания одного и того же квантового состояния. Например, поле фотона A^μ, будучи четырёхвекторным, имеет четыре кажущихся степени свободы, но фактическое состояние фотона описывается его двумя степенями свободы, соответствующими поляризации. Остальные две степени свободы называются «избыточными», а разные способы записи A^μ можно связать друг с другом калибровочным преобразованием и, фактически, они описывают одно и то же состояние фотонного поля. В этом смысле калибровочная инвариантность — это не «настоящая» симметрия, а отражение «избыточности» выбранного математического описания[125].

Чтобы учесть избыточность калибровки в формулировке интеграла по траекториям, необходимо выполнить так называемую процедуру фиксации калибровки Фаддеева — Попова. В неабелевых калибровочных теориях такая процедура приводит к возникновению новых полей, называемых «духами». Частицы, соответствующие полям духов, называются частицами-духами, которые не могут быть обнаружены извне[126]. Более строгое обобщение процедуры Фаддеева — Попова задаётся процедурой БРСТ квантования[127].

Спонтанное нарушение симметрии — это механизм, при котором симметрия лагранжиана описываемой им системы нарушается[128].

Чтобы проиллюстрировать механизм, рассмотрим линейную сигма-модель, содержащую N вещественных скалярных полей (за номер поля отвечает индекс i), описываемых плотностью лагранжиана вида[129]:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi ^{i}\right)\left(\partial ^{\mu }\phi ^{i}\right)+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{i}\phi ^{i}-{\frac {\lambda }{4}}\left(\phi ^{i}\phi ^{i}\right)^{2}\,,}$

где μ и λ — действительные параметры. Теория допускает глобальную симметрию O(N)[129]:

${\displaystyle \phi ^{i}\to R^{ij}\phi ^{j},\quad R\in \mathrm {O} (N)\,.}$

Состояние с наименьшей энергией (основное состояние или вакуумное состояние) классической теории представляется любым однородным полем ϕ₀, которое удовлетворяет условию

${\displaystyle \phi _{0}^{i}\phi _{0}^{i}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.}$

Без ограничения общности, пусть основное состояние находится в N-м направлении[129]:

${\displaystyle \phi _{0}^{i}=\left(0,\cdots ,0,{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\right).}$

Исходные N полей можно переписать в виде:

${\displaystyle \phi ^{i}(x)=\left(\pi ^{1}(x),\cdots ,\pi ^{N-1}(x),{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}+\sigma (x)\right)\,}$

и исходная плотность лагранжиана записывается как

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\pi ^{k})(\partial ^{\mu }\pi ^{k})+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\sigma )(\partial ^{\mu }\sigma )-{\frac {1}{2}}(2\mu ^{2})\sigma ^{2}-{\sqrt {\lambda }}\mu \sigma ^{3}-{\sqrt {\lambda }}\mu \pi ^{k}\pi ^{k}\sigma -{\frac {\lambda }{2}}\pi ^{k}\pi ^{k}\sigma ^{2}-{\frac {\lambda }{4}}(\pi ^{k}\pi ^{k})^{2},}$

где k = 1,...,N-1 k = 1,...,N-1 k = 1,...,N-1. Исходная O(N) больше не появляется, а остаётся только подгруппа O(N-1). Большая симметрия до спонтанного нарушения симметрии называется «скрытой» или спонтанно нарушенной[130].

Теорема Голдстоуна утверждает, что при спонтанном нарушении симметрии каждая нарушенная непрерывная глобальная симметрия приводит к появлению безмассового полюя, называемому бозоном Голдстоуна. В приведённом выше примере O(N) имеет N(N-1)/2 непрерывных симметрий (равной размерности его алгебры Ли), а O(N-1) имеет (N-1)(N-2)/2. Число нарушенных симметрий — это разность этих величин N-1, что также соответствует N-1 безмассовым полям π^k[130].

С другой стороны, когда калибровочная (в отличие от глобальной) симметрия спонтанно нарушается, образующийся бозон Голдстоуна «съедается» соответствующим калибровочным бозоном, становясь дополнительной степенью свободы для калибровочного бозона[131]. Теорема об эквивалентности бозонов Голдстоуна гласит, что при высокой энергии амплитуда излучения или поглощения продольно поляризованного массивного калибровочного бозона становится равной амплитуде излучения или поглощения бозона Голдстоуна, который был съеден калибровочным бозоном[132].

В КТП ферромагнетизма спонтанное нарушение симметрии может объяснить выравнивание магнитных диполей при низких температурах[133][134]. В Стандартной модели элементарных частиц, W и Z бозоны, которые иначе были бы безмассовыми в результате калибровочной симметрии, приобретают массы через спонтанное нарушение симметрии благодаря бозону Хиггса. Этот процесс называется механизмом Хиггса[135].

Поле можно представить в виде бесконечного множества полевых гармонических осцилляторов. Это можно показать на примере поля Клейна — Гордона. Трёхмерный (по трём пространственным координатам) Фурье-образ полевой функции удовлетворяет следующему уравнению (Фурье-образ уравнения Клейна — Гордона)

${\displaystyle \partial _{t}^{2}\phi (\mathbf {p} ,t)+(\mathbf {p} ^{2}+m^{2})\phi (\mathbf {p} ,t)=0,}$

что является дифференциальным уравнением для гармонического осциллятора с частотой ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}}$ каждой фиксированной моды ${\displaystyle \mathbf {p} }$ Фурье-разложения. Для каждого такого квантового гармонического осциллятора, как известно из квантовой механики, стационарные состояния ${\displaystyle \phi _{n}}$ можно связать между собой повышающим и понижающим операторами следующим образом[149]

${\displaystyle {\hat {a}}^{+}{\phi }_{n}={\sqrt {n+1}}{\phi }_{n+1}}$, ${\displaystyle {\hat {a}}{\phi }_{n}={\sqrt {n}}{\phi }_{n-1},}$

а гамильтониан равен ${\displaystyle H={\hbar \omega }{({\hat {n}}+1/2)}}$, где ${\displaystyle {\hat {n}}={a}^{+}a}$. Соответственно энергия осциллятора квантуется ${\displaystyle E_{n}={\hbar }{\omega }(n+1/2)}$, где ${\displaystyle n}$- квантовое число-собственные значения оператора ${\displaystyle {\hat {n}}={a}^{+}a}$[150].

Таким образом, применение повышающего или понижающего оператора изменяет квантовое число ${\displaystyle n}$ на единицу и приводит к одинаковому изменению энергии осциллятора (эквидистантность спектра), что можно интерпретировать как рождение нового или уничтожение кванта поля с энергией ${\displaystyle {\hbar }{\omega }}$. Именно такая интерпретация позволяет использовать вышеприведённые операторы, как операторы рождения и уничтожения. Любое состояние с индексом ${\displaystyle n}$ может быть представлено как действие ${\displaystyle n}$ операторов рождения на «нулевое» состояние[150]:

${\displaystyle {\phi }_{n}={\frac {({\hat {a}}^{+})^{n}}{\sqrt {n!}}}\phi _{0}.}$

В случае ${\displaystyle N}$ осцилляторов гамильтониан системы равен сумме гамильтонианов отдельных осцилляторов. Для каждого такого осциллятора можно определить свои операторы рождения ${\displaystyle {\hat {a}}_{k}^{+},k=1,...,N}$. Следовательно, произвольное квантовое состояние такой системы может быть описано с помощью чисел заполнения ${\displaystyle n_{k}}$ — количества операторов данного сорта k, действующих на вакуум:

${\displaystyle \phi (n_{1},...,n_{N})=\prod _{(k)}{\frac {({\hat {a_{k}}}^{+})^{n_{k}}}{\sqrt {n_{k}!}}}\phi _{0}.}$