Основное состояние

В соответствии с третьим законом термодинамики, система может находиться в таком состоянии лишь при абсолютном ноле, его энтропия определяется вырождением квантового вакуума, а состояния с одинаковой наименьшей энергией называется вырожденными (примером является спонтанное нарушение симметрии).

Поскольку температура является монотонно нарастающей функцией энергии индивидуальных частиц, системы в «холодной» среде обычно находятся в основном состоянии. Для многих систем, например атомов, таковой является комнатная температура. Даже в основном состоянии система способна содержать колоссальное количество энергии. Это видно на примере распределения Ферми при кондукции электронов в металле: температура Ферми большинства электронов самой высокой энергии на уровне Ферми составляет около 10 тыс. градусов Кельвина даже если металл охладился до температуры ниже комнатной, но извлечь энергию всё равно нельзя, так как электронный газ не может принять ещё более низкое энергетическое состояние.

Найдём основное состояние, которое будет решением уравнения Шрёдингера для квантового гармонического осциллятора:

${\displaystyle {\frac {-\hbar }{2m}}{\frac {d^{2}\Psi (x)}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\Psi (x)=E\Psi (x)}$

Испробуем волновую функцию формы:

${\displaystyle \Psi (x)=Ce^{-\alpha x^{2}/2}}$

Подстановкой этой функции в уравнение Шрёдингера через вторую производную получаем:

${\displaystyle {\frac {d\Psi }{dx}}=-C{\frac {\alpha }{2}}e^{-\alpha x^{2}/2}2x}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\Psi }{dx^{2}}}=-C\alpha e^{-\alpha x^{2}/2}+C\alpha ^{2}x^{2}e^{-\alpha x^{2}/2}}$

${\displaystyle {\frac {-\hbar }{2m}}\lbrack {-\alpha +\alpha ^{2}x^{2}}\rbrack \Psi +{\frac {1}{2}}m{\omega }^{2}x^{2}\Psi =E\Psi }$

Чтобы это было решением для всех ${\displaystyle x}$, коэффициенты должны быть одинаковы при всех степенях. Этим мы можем совместить краевые условия с дифференциальным уравнением. Выравниваем коэффициенты:

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}\alpha ^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}=0}$ и ${\displaystyle \alpha ={\frac {m\omega }{\hbar }}}$

И со свободными членами получаем энергию:

${\displaystyle {\frac {-\hbar }{2m}}{\frac {m\omega }{\hbar }}=E_{0}={\frac {\hbar \omega }{2}}}$

То есть энергия системы, описанной квантовым гармоническим осциллятором, не может быть нулевой. Физические системы вроде атомов в твёрдой решётке или полиатомной молекуле в газе не могут иметь нулевую энергию даже при абсолютном нуле. Энергию основного колебательного состояния называют также нулевыми колебаниями. Этой энергии хватает, чтобы гелий-4 не замёрз при атмосферном давлении независимо от того, насколько низка температура.

• Статистика Бозе — Эйнштейна