Теория Янга — Миллса

Неабелевость группы означает, что поля-переносчики взаимодействий Янга — Миллса могут взаимодействовать сами с собой и друг с другом. Это влечёт за собой то, что уравнения, описывающие эволюцию полей Янга — Миллса, являются нелинейными (в противоположность линейным уравнениям Максвелла, отвечающим абелевой теории). Можно также сказать, что для полей Янга — Миллса не выполняется принцип суперпозиции.

Кванты полей Янга — Миллса являются векторными частицами (то есть бозонами со спином 1) и обладают нулевой массой. Однако с помощью механизма спонтанного нарушения симметрии физические поля Янга — Миллса могут приобретать ненулевую массу.

Нелинейность уравнений Янга — Миллса делает их очень сложными для решения. В режиме малой константы связи эти уравнения удаётся решить приближённо в виде ряда теории возмущений, однако как решить эти уравнения в режиме сильной связи, пока неизвестно. Неизвестно также, как именно эта нелинейность приводит к наблюдаемому в нашем мире конфайнменту в сильных взаимодействиях. Проблема решения уравнений Янга — Миллса в общем случае является одной из семи математических «Проблем тысячелетия», за решение любой из которых Математический институт Клэя[3] присудит премию в 1 миллион долларов США.

Теории Янга — Миллса — частный пример калибровочной теории поля с неабелевой группой калибровочной симметрии. Лагранжиан свободного поля Янга — Миллса таких теорий имеет определённый вид

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\frac {1}{4}}\operatorname {Tr} (F^{2})=-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu a}F_{\mu \nu }^{a},}$

где ${\displaystyle F}$ — 2-форма напряжённости поля Янга — Миллса, остающаяся инвариантной при воздействии на тензор-потенциал ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$ калибровочной группы:

${\displaystyle \ F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},}$

где под ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ понимается ковариантная производная в пространстве-времени, в пространстве Минковского в галилеевых координатах сводящаяся к обычной частной производной.

Порождающие алгебры Ли калибровочной группы ${\displaystyle T^{a}}$ удовлетворяют соотношению

${\displaystyle \ [T^{a},T^{b}]=if^{abc}T^{c}}$,

где ${\displaystyle f^{abc}}$ называются структурными константами группы.

Ковариантные (иногда называемые удлинёнными) производные полей, взаимодействующих через поля Янга — Миллса данной теории, определены как:

${\displaystyle \ D_{\mu }=I\partial _{\mu }-igT^{a}A_{\mu }^{a}}$,

где ${\displaystyle I}$ — единичный оператор, а ${\displaystyle g}$ — это константа взаимодействия. В четырёхмерном пространстве-времени константа взаимодействия ${\displaystyle g}$ — это безразмерная величина. Для групп ${\displaystyle SU(N)}$ ${\displaystyle a,b,c=1\ldots N^{2}-1}$.

Вышеприведённое определение ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}}$ может быть получено исходя из коммутатора:

${\displaystyle \ [D_{\mu },D_{\nu }]=-igT^{a}F_{\mu \nu }^{a}}$.

Само поле Янга — Миллса оказывается при этом самодействующим, а получающиеся уравнения движения:

${\displaystyle \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=0}$

называются полулинейными. В случае малой константы связи ${\displaystyle g<1}$ в данной теории применима теория возмущений.

Переход между «верхним» («контравариантным») и «нижним» («ковариантным») векторными или тензорными компонентами тривиальны для групповых латинских индексов (например, ${\displaystyle f^{abc}=f_{abc}}$, в групповом пространстве введена евклидова метрика), но нетривиальны для пространственно-временных греческих индексов, которые жонглируются метрикой пространства-времени, в простейшем случае — обычной метрикой Минковского ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\rm {diag}}\,(+---)}$.

С введением ${\displaystyle F_{\mu \nu }=T^{a}F_{\mu \nu }^{a}}$ уравнения движения можно переписать так:

${\displaystyle (D^{\mu }F_{\mu \nu })^{a}=0.}$

Так как ${\displaystyle F}$ — 2-форма, то выполняется тождество Бьянки:

${\displaystyle \ (D_{\mu }F_{\nu \kappa })^{a}+(D_{\kappa }F_{\mu \nu })^{a}+(D_{\nu }F_{\kappa \mu })^{a}=0}$.

Источник ${\displaystyle J_{\mu }^{a}}$ входит в уравнения движения как:

${\displaystyle \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\nu }^{a}}$.

(Токи тоже должны правильно меняться при калибровочных преобразованиях.)

В ${\displaystyle D}$ измерениях пространства-времени поле масштабируется как ${\displaystyle [A]=[L^{\frac {2-D}{2}}]}$ и, таким образом, взаимодействие должно иметь размерность ${\displaystyle [g^{2}]=[L^{D-4}]}$. Это означает, что теории Янга — Миллса не перенормируемы для размерностей пространства-времени больше, чем четыре (см. также Антропный принцип). Кроме того, для ${\displaystyle D=4}$ константа связи безразмерна, а поле и квадрат константы взаимодействия имеют одинаковые размерности с полем и константой взаимодействия теории скалярного безмассового поля с самодействием ${\displaystyle \phi ^{4}}$. Таким образом, эти теории имеют одинаковую масштабную инвариантность на классическом уровне.

• Янг, Ч., Миллс Р. Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность // Элементарные частицы и компенсирующие поля / под ред. Д. Иваненко. — М.: Мир, 1964. — С. 28—38.
• Славнов, А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М. : Наука, 1978. — С. 240.

• Физическую «проблему тысячелетия» посчитали неразрешимой