Квантовая хромодинамика

Квантовая хромодинамика основывается на постулате: каждый кварк обладает новым внутренним квантовым числом, условно называемым цветовым зарядом, или просто цветом. Термин «цвет» не имеет никакого отношения к оптическим цветам и введён исключительно для целей популяризации. Инвариантная в цветовом пространстве комбинация является суммой трёх различных цветов. Например, сумма трёх основных оптических цветов — красного, зелёного и синего — даёт белый цвет, то есть бесцветное состояние. Поэтому базисные векторы в цветовом пространстве часто называют не первый, второй, третий, а «красный» (к), «зелёный» (з) и «синий» (с). Антикваркам соответствуют антицвета (ак, аз, ас), причём комбинация «цвет + антицвет» бесцветна. Глюоны же в цветовом пространстве имеют комбинации «цвет-антицвет», причём такие комбинации, которые не являются инвариантными относительно вращений в цветовом пространстве. Таких независимых комбинаций существует восемь, и выглядят они следующим образом:

к-аз, к-ас, з-ак, з-ас, с-ак, с-аз, (к-ак − з-аз)/${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, (к-ак + з-аз − 2с-ас)/${\displaystyle {\sqrt {6}}}$

Например, «синий» кварк может испустить «синий-антизелёный» глюон и превратиться при этом в «зелёный» кварк.

Цвет — внутренняя степень свободы кварков и глюонов. Кварковому полю приписывается определённый вектор состояния ${\displaystyle q^{i}}$ единичной длины в комплексном трёхмерном цветовом пространстве C(3). Вращения в цветовом пространстве C(3), то есть линейные преобразования, сохраняющие длину, образуют группу SU(3), размерность которой равна 2·3²−3²−1=8.

Поскольку группа SU(3) связна, все её элементы можно получить экспоненцированием алгебры ASU(3). Следовательно, любое вращение в C(3)

${\displaystyle q^{i}=U_{j}^{i}q^{j}}$

можно представить в виде ${\displaystyle U=\exp(ic_{a}t^{a})}$, где 3×3 матрицы ${\displaystyle t^{a}}$ (a = 1 … 8) называются матрицами Гелл-Манна и образуют алгебру ASU(3). Поскольку матрицы Гелл-Манна не коммутируют друг с другом, ${\displaystyle [t^{a},t^{b}]=i\,f_{c}^{ab}t^{c}}$, калибровочная теория, построенная на группе SU(3), является неабелевой (то есть является теорией Янга — Миллса).

Далее используется стандартный принцип калибровочной инвариантности. Рассмотрим лагранжиан свободного кваркового поля

${\displaystyle L={\bar {q}}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)q}$

Этот лагранжиан инвариантен относительно глобальных калибровочных преобразований кварковых и антикварковых полей:

${\displaystyle q\to \exp(ic_{a}t^{a})q,\quad {\bar {q}}\to \exp(-ic_{a}t^{a}){\bar {q}},}$

где ${\displaystyle c_{a}}$ не зависят от координат в обычном пространстве.

Если же потребовать инвариантность относительно локальных калибровочных преобразований (то есть при ${\displaystyle c_{a}(x_{\mu })}$), то приходится вводить вспомогательное поле ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$. В результате, лагранжиан КХД, инвариантный относительно локальных калибровочных преобразований, имеет вид (суммирование по ароматам кварков также предполагается)

${\displaystyle L={\bar {q}}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+g\gamma ^{\mu }A_{\mu }-m)q-{1 \over 2}\mathrm {Tr\,} G^{\mu \nu }G_{\mu \nu },}$

где ${\displaystyle G_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }-ig[A_{\mu },A_{\nu }]}$ — тензор напряжённостей глюонного поля, а ${\displaystyle A_{\mu }\equiv \sum _{a=1}^{8}A_{\mu }^{a}t^{a}}$ есть само глюонное поле.

Видно, что этот лагранжиан порождает наряду с вершиной взаимодействия кварк-антикварк-глюон и трёхглюонные и четырёхглюонные вершины. Иными словами, неабелевость теории привела к взаимодействию глюонов и к нелинейным уравнениям Янга — Миллса.

КХД уже достаточно давно с успехом применяется в ситуациях, когда кварки и глюоны являются адекватным выбором степеней свободы (при адронных столкновениях высоких энергий), в особенности, когда передача импульса от одной частицы к другой тоже велика по сравнению с типичным адронным энергетическим масштабом (порядка 1 ГэВ). Подробно про применение квантовой хромодинамики к описанию адронных столкновений см в статье Современное состояние теории сильных взаимодействий.

При более низких энергиях, из-за сильных многочастичных корреляций работа в терминах кварков и глюонов становится малоосмысленной, и приходится на основе КХД строить эффективную теорию взаимодействия бесцветных объектов — адронов.

Однако начиная с 2008 года для КХД-расчётов стала активно и крайне плодотворно применяться методика КХД на решётке — непертурбативный подход к квантовохромодинамическим расчётам, основанный на замене непрерывного пространства-времени дискретной решёткой и симуляции происходящих процессов с помощью метода Монте-Карло. Такие расчёты требуют использования мощных суперкомпьютеров, однако позволяют с достаточно высокой точностью рассчитывать параметры, вычисление которых аналитическими методами невозможно. Например, расчёт массы протона дал величину, отличающуюся от реальной менее чем на 2 %[14][15]. КХД на решётке также позволяет с приемлемой точностью рассчитывать и массы других, в том числе и ещё не открытых адронов, что облегчает их поиск.

В 2010 году с помощью решёточных расчётов была резко уточнена оценка массы u и d-кварков: погрешность снижена с 30 % до 1,5 %[16].

• Альтарелли Г. Введение в КХД (лекции, прочитанные на Европейской школе по физике высоких энергий)
• Индурайн Ф. Квантовая хромодинамика. М.: Мир, 1986. 288 с.

• С. Адлер Заметки к истории квантовой хромодинамики (англ.)
• V. A. Matveev, A. N. Tavkhelidze. The quantum number color, colored quarks and QCD (Dedicated to the 40th Anniversary of the Discovery of Color)
• А. Н. Тавхелидзе. К вопросу об открытии квантового числа «ЦВЕТ»
• F. Tkachov, A contribution to the history of quarks: Boris Struminsky’s 1965 JINR publication (англ.)
• Видео Лекции: Теория сильных взаимодействий (профессор Фадин В. С., 2014 г.)