Квантовополевая теория возмущений в статистической физике

Важным объектом в статистической физике является полная корреляционная функция. В формализме интегралов по траекториям n-точечная корреляционная функция определяется как [3]

${\displaystyle G_{k}(x_{1},...,x_{n})={\frac {\int {\mathfrak {D}}\phi \phi (x_{1})...\phi (x_{n})e^{-S}}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{-S(\phi )}}},}$

здесь ${\displaystyle S(\phi )={\frac {H(\phi )}{k_{B}T}}}$ , ${\displaystyle H(\phi )}$ — гамильтониан рассматриваемой системы, ${\displaystyle k_{B}}$ — постоянная Больцмана, ${\displaystyle T}$ — абсолютная температура, ${\displaystyle \phi (x)}$ — случайное поле параметра порядка (например, отклонение плотности системы от средней). Заметим, что иногда ${\displaystyle S(\phi )}$ называют «действием», но не следует путать его с настоящим действием. Корреляционные функции могут быть непосредственно измерены в экспериментах, например по рассеянию света на флуктуациях плотности

Вся физика системы диктуется видом и свойствами ${\displaystyle S(\phi )}$. Наиболее важная модель в статистической физике — модель ${\displaystyle \phi ^{4}}$, которая описывается действием вида:

${\displaystyle S(\phi )=\int dx\left({\frac {c(\nabla \phi (x))^{2}}{2}}+{\frac {\tau {\phi (x)}^{2}}{2}}+{\frac {g{\phi (x)}^{4}}{4!}}\right)}$,

предполагается, что все параметры здесь являются аналитическими функциями температуры. Эта модель хорошо описывает поведение жидкости и пара в окрестности критической точки, поведение магнетиков в окрестности точки Кюри и т. д.

Для вычисления корреляционных функций необходимо вычислять соответствующий континуальный интеграл с заданным действием либо производящий функционал. Ясно, что в общем случае это сделать невозможно. Точное аналитическое выражение можно получить лишь для квадратичных по полю действий, то есть в случае гауссова распределения. По этой причине здесь используется метод ТВ. Малым возмущением в рассматриваемой теории является член ${\displaystyle g\phi ^{4}}$.

Малость возмущения позволяет разложить экспоненту по степеням константы связи g и дальше вычислять уже континуальные интегралы с квадратичным гамильтонианом. Такие вычисления основаны на применении теоремы Вика и правил Фейнмана. Пользуясь ими рассмотрим 2-точечную корреляционную функцию:

${\displaystyle G_{2}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D}}\phi e^{-S_{0}}\phi (x_{1})\phi (x_{2})\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}{\left(-\int dx{\frac {g\phi ^{4}}{4!}}\right)}^{j}}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{-S_{0}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}{\left(-\int dx{\frac {g\phi ^{4}}{4!}}\right)}^{j}}}.}$

В нулевом порядке ТВ по константе связи мы получим корреляционную функцию свободной теории:

${\displaystyle G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D}}\phi e^{-S_{0}}\phi (x_{1})\phi (x_{2})}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{-S_{0}}}},}$

в первом порядке по g имеем:

${\displaystyle G_{2}^{1}(x_{1},x_{2})={\frac {\int {\mathfrak {D}}\phi e^{-S_{0}}\phi (x_{1})\phi (x_{2})\left(-\int dx{\frac {g\phi ^{4}}{4!}}\right)}{\int {\mathfrak {D}}\phi e^{-S_{0}}}},}$

тогда корреляционная функция в таком линейном приближении будет:

${\displaystyle G_{2}(x_{1},x_{2})=G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})+G_{2}^{1}(x_{1},x_{2})+O(g^{2})}$

Все поправки строятся из пропагатора свободной теории ${\displaystyle G_{2}^{0}(x_{1},x_{2})}$ и члена взаимодействия ${\displaystyle g\phi ^{4}}$. В импульсном представлении первой поправке по g соответствует член:

${\displaystyle G_{2}^{1}(p)=-{\frac {g}{2}}G_{2}^{0}(p)\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{3}}}G_{2}^{0}(k)}$, где ${\displaystyle G_{2}^{0}(k)={\frac {1}{ck^{2}+\tau }}.}$

Видно, что этот интеграл расходится на больших импульсах — УФ (ультрафиолетовая) — расходимость. Если ввести параметр обрезания, то есть ограничить область интегрирования условием ${\displaystyle |k|\leqslant \Lambda }$, то ${\displaystyle G_{2}^{1}(p)\sim {\Lambda }^{2}}$. Таким образом, видно, что уже на первом шаге ТВ появляются бесконечные выражения. В общем случае бесконечности могут появляться не только из за УФ-расходимостей интегралов, но также из-за ИК-расходимостей (на малых импульсах), коллинеарных расходимостей (из-за параллельности импульсов) и т. д. Они могут быть регуляризованны с помощью некоторых параметров, например ${\displaystyle \Lambda }$. В итоге вычисляемые выражения становятся зависимыми от этих неизвестных параметров регуляризации. Однако можно переопределить исходные поля и заряды, так что ответ не будет содержать регуляризатор. Технически это осуществляется добавлением к исходному (базовому) действию контрчленов, которые зависят от параметра регуляризации и заряда и сокращают все регуляризованные члены в каждом порядке по g, делая ответы конечными. Теория с таким исправленным действием называется ренормированной. Оказывается, что не всегда можно сократить расходимости в теории. Если число расходящихся вкладов конечно, то теория является суперперенормируемой, если их число бесконечно, но их можно сократить в каждом порядке, то теория перенормируема, если этого сделать нельзя теория неперенормируема. Модель ${\displaystyle \phi ^{4}}$ является суперперенормируемой в размерностях пространства меньше 4, в 4х-мерье она перенормируема, в пространстве больших размерностей сократить все бесконечности нельзя. Вообще, принадлежность теории к той или иной категории определяется размерностью заряда.

Ещё один способ регуляризации заключается в сдвиге размерности пространства ${\displaystyle 4\rightarrow 4-\epsilon }$. В таком подходе расходящиеся части интегралов имеют вид полюсов по параметру ${\displaystyle \epsilon }$. Добавление контрчленов к базовому действию равносильно растяжению исходных (затравочных) параметров :

${\displaystyle \phi (x)\rightarrow Z_{\phi }\phi (x),g\rightarrow g\mu ^{\epsilon }Z_{g},\tau \rightarrow \tau Z_{\tau }.}$

При вычислениях наиболее удобной является схема минимальных вычитаний или MS-схема (от Minimal Substractions). В ней величины ${\displaystyle Z_{\phi },Z_{g},Z_{\tau }}$ являются функциями безразмерного g (размерность g «берёт на себя» ренормировочная масса ${\displaystyle \mu }$) и ${\displaystyle \epsilon }$. Эти величины имеют структуру

${\displaystyle Z(g,\epsilon )=1+\sum _{n=1}^{\infty }g^{n}\sum _{i=1}^{n}{\epsilon }^{-i}a_{ni},}$

где ${\displaystyle a_{ni}}$ числовые множители[4][5].

После ренормировки, каждый член ряда ТВ даёт конечный вклад. Следующая проблема, которую необходимо решать — сходимость полученного ряда.

Ясно, что конечность каждого вклада не влечет за собой конечность ряда ТВ. Для определения радиуса сходимости можно использовать признак Д’Аламбера:

${\displaystyle R=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {C_{N}}{C_{N+1}}},}$

здесь ${\displaystyle C_{N}}$ — коэффициенты разложения какой-либо величины в ряд по g. Отсюда следует, что для определения радиуса сходимости достаточно знать асимптотическое поведение ${\displaystyle C_{N}}$ при ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$, то есть асимптотику высоких порядков (АВП).

Рассмотрим полную n-точечную корреляционную функцию, как функцию заряда g. Её разложение в ряд по g имеет вид:

${\displaystyle G_{n}(x_{1},...,x_{n},g)=\sum _{N=0}^{\infty }g^{N}G_{n}^{N}(x_{1},...,x_{n}),}$

а коэффициенты разложения, в предположении аналитичности ${\displaystyle G_{n}(g)}$, определяются формулой:

${\displaystyle G_{n}^{N}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\gamma }{\frac {G_{n}(g)}{g^{N+1}}}dg.}$

Это представление позволяет применить метод перевала для исследование АВП. Окончательное выражение для АВП коэффициентов разложения n-точечной корреляционной функции имеет вид:

${\displaystyle G_{n}^{N}(x_{1},...,x_{n})=c(n)N!N^{b(n)}a^{N}(1+O(1/N))F(x_{1},...,x_{n}),}$

величины c(n), b(n) зависят только от n, a — константа, ${\displaystyle F(x_{1},...,x_{n})}$ — некоторые функции. Видно, что ни о какой сходимости ряда ТВ говорить не приходится. В большинстве случаев ряды ТВ носят асимптотический характер. [6] [7]

Несмотря на то, что появление УФ-расходимостей в ТВ приводит к некоторым трудностям, существует и положительная сторона этой ситуации. Как уже известно, в размерной регуляризации константы ренормировки Z имеют структуру полюсов по ${\displaystyle \epsilon }$. Оказывается, что вычеты в простых полюсах констант ренормировок содержат в себе всю информацию о критическом поведении модели, то есть о поведении в окрестности критической точки. Критические индексы непосредственно связаны с аномальными размерностями, которые определяются этими вычетами: ${\displaystyle \eta =2\gamma _{\phi }(g_{*}),1/\nu =2+\gamma _{\tau }(g_{*})}$. В таком подходе, критические индексы строятся в виде отрезков рядов по параметру[8]. Как показывает анализ АВП такого ${\displaystyle \epsilon }$-разложения, коэффициенты этих рядов имеют такую же асимптотику (a, b(n), c(n), разумеется, отличаются), как и n-точечные корреляционные функции. Поэтому непосредственное суммирование таких ${\displaystyle \epsilon }$ — разложений не имеет ни какого смысла, поскольку следующий член даёт больший вклад, чем предыдущий. Однако и факториально расходящиеся ряды можно просуммировать в обобщенном смысле и получить достаточно хорошие результаты, причём в конечных результатах следует класть ${\displaystyle \epsilon =1}$, если мы интересуемся трехмерными системами, либо ${\displaystyle \epsilon =2}$ в двумерном случае. Отметим, что изначально критические индексы вычислялись в рамках теории среднего поля Ландау и плохо согласовывались с экспериментом. Ренормгрупповой подход (${\displaystyle \epsilon }$ — разложение) позволяет вычислять критические индексы с хорошей точностью[9].

Теперь остановимся на методе, который позволяет просуммировать факториально-расходящиеся ряды.

Предположим, что некоторая функция

${\displaystyle Q(z)=\sum _{k=0}^{\infty }Q_{k}z^{k}}$

имеет АВП вида ${\displaystyle Q_{k}\sim k!k^{b}{(-a)}^{k}}$. Тогда функцией Бореля ${\displaystyle B(z)}$ функции ${\displaystyle Q(z)}$ называется функция

${\displaystyle B(z)=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}z^{k}}$

такая, что

${\displaystyle B_{k}={\frac {Q_{k}}{(k+b_{0})!}},}$

причем

${\displaystyle Q(z)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}t^{b_{0}}B(zt)dt.}$

Справедливость этого утверждения основывается на теореме Ватсона[10][11], которая верна при условии аналитичности функции Q(z) в некотором секторе в комплексной плоскости переменной z. Как правило, в квантовой теории поля и статистической физики мы заранее не знаем аналитических свойств функции, для которой строим ряд ТВ, поэтому применимость теоремы Ватсона остается под вопросом. Рассмотрим функцию ${\displaystyle B(z)}$, как функцию комплексной переменной z. Из определения коэффициентов её разложения следует, что соответствующая АВП будет иметь вид:

${\displaystyle B_{k}\sim {(-a)}^{k}k^{b-b_{0}}.}$

Отсюда следует, что в круге ${\displaystyle |z|<1/a}$ ряд сходится к функции

${\displaystyle B(z)={\frac {r_{1}}{{(1+az)}^{b-b_{0}+1}}}+r_{2},}$

где ${\displaystyle \ r_{1},r_{2}}$ — константы. Обратим внимание, что контур интегрирования пересекает круг сходимости ряда ${\displaystyle B(z)}$ и выходит за область аналитичности ${\displaystyle B(z)}$, поэтому для вычисления величины ${\displaystyle Q(z)}$ необходимо строить аналитические продолжения для ${\displaystyle B(z)}$ за область сходимости. Такие продолжения могут быть построены несколькими способами. Один из них — метод Паде' аппроксимант. Дополнительное требование на аппроксимации — отсутствие полюсов на оси интегрирования. Второй метод — метод конформных отображений[12]

Таким образом, процедура пересуммирования заключается в переходе к сходящемуся ряду, вычислению его суммы и обратному преобразованию к исходной величине. Если применять этот метод к обычным сходящимся рядам с суммой S, то после борелевского суммирования получим тот же самый ответ S.

В качестве примера представлены значения некоторых критических индексов, полученных пересуммированием ${\displaystyle \epsilon }$ — разложения (пятипетлевого) (${\displaystyle \epsilon }$), высокотемпературным разложением (HT) и экспериментальным путём (E) для изотропного ферромагнетика:

критические индексы.

Видно, что все методы вычисления критических индексов дают одинаковый результат в пределах погрешности. Таким образом, несмотря на то, что ряды ТВ являются асимптотическими, а формально малый параметр разложения в действительности оказывается порядка и даже больше единицы, результаты вычислений абсолютно объективны. Проверка пертурбативной КЭД для таких величин как лэмбовский сдвиг или аномальный магнитный момент дает рекордную на нынешний день точность согласования теории с экспериментом. Стандартная модель электрослабых взаимодействий физики элементарных частиц также демонстрирует удивительное совпадение вычислений, сделанных в рамках теории возмущений, с экспериментальными результатами. Однако, несмотря на всю свою эффективность, ТВ ограничена в области своей применимости. Эти ограничения связаны как с ростом сложности петлевых вычислений в каждом следующем порядке ТВ, так и с принципиальным отличием пертурбативного и непертурбативного спектров теории. В КХД не представляется возможным обойтись одними пертурбативными вычислениями в силу наличия явления конфайнмента и большой величины константы связи в инфракрасной области.

• Температурные функции Грина
• Критические явления
• Квантовая теория поля
• Функциональный интеграл
• Статистическая физика
• Теория Ландау

• Ициксон К, Зюбер Ж. Б. Квантовая теория поля. Том 1. Том 2.. — М.: Мир, 1987.
• Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах.. — НИЦ «РХД», 2009.
• Вильсон К. Ренормализационнай группа и критические явления : Нобелевская лекция. — 1982.