Температурные функции Грина

Температурные функции Грина являются некоторой модификацией функций Грина для квантовомеханических систем с температурой отличной от нуля. Они удобны для вычисления термодинамических свойств системы, а также содержат информацию о спектре квазичастиц и о слабонеравновесных кинетических явлениях.

В системах со взаимодействием может быть построена соответствующая диаграммная техника для температурных функций Грина. Эта техника широко используется для изучения фазовых переходов (сверхпроводимость, сверхтекучесть, точка Кюри) в различных системах. Исследование подобных систем является нетривиальной задачей. Для описания самого механизма перехода и состояния ниже точки перехода модель невзаимодействующих частиц непригодна. Здесь решающую роль играет межчастичное взаимодействие. Учёт подобного взаимодействия значительно усложняет используемый математический аппарат. Аппарат температурных функций Грина можно развивать в двух эквивалентных формулировках: с помощью квантовомеханических операторов либо в методе функциональных интегралов. Одним из плюсов последнего метода является отсутствие проблем некоммутативности операторов поля и разного рода упорядочиваний. [1]

Операторный подход

Определение температурных функций Грина

Введём мацубаровские ${\hat {\Psi }}$ — операторы в «гейзенберговском представлении» соотношениями[2]:

{\hat {\Psi }}(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )e^{-\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})},

{\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}e^{-\tau ({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}.

В более общем случае эти операторы могут иметь спиновые индексы. В этих формулах $\tau$ — вещественная переменная $\tau \in (0,1/T)$ , поэтому операторы ${\hat {\Psi }}(\tau ,\mathbf {r} )$ и ${\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )$ не являются эрмитово-сопряженными, $\mu$ — химический потенциал системы, ${\hat {H}}$ — гамильтониан системы, ${\hat {N}}=\int d\mathbf {r} {\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r} ){\hat {\psi }}(\mathbf {r} )$ — оператор числа частиц. Операторы ${\hat {\psi }}(\mathbf {r} )$ и ${\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r} )$ эрмитово-сопряженный операторы поля в шрёденгеровском представлении. Видно, что «гейзенберговское представление» мацубаровских операторов отличается от настоящего гейзенберговского представления заменой в последнем $t\rightarrow -i\tau$ , то есть формально это можно понимать как переход ко мнимому времени. Температурная функция Грина определяется следующим образом:

G(\tau ,\mathbf {r} _{1};\tau ',\mathbf {r} _{2})=-{\frac {Tr\left\{e^{\frac {({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{T}}T_{\tau }{\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} _{1}){\hat {\Psi }}(\tau ',\mathbf {r} _{2})\right\}}{Tr\left\{e^{\frac {({\hat {H}}-\mu {\hat {N}})}{T}}\right\}}},

где символ $T_{\tau }$ означает « $\tau$ — хронологизацию» — расположение операторов слева на право в порядке убывания $\tau$ . В случае ферми-частиц перестановка между собой операторов приводит к изменению общего знака.[3] С помощью этой функции можно вычислить число частиц как функцию химического потенциала, или химический потенциал, как функцию концентрации и температуры: $N=\pm \int d\mathbf {r} G(\tau ,\mathbf {r$

Случай свободных частиц

Гамильтониан свободной системы, выраженный через шрёдингеровские операторы поля, имеет вид[4]:

\quad {\hat {H_{0}}}=\int {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}\left(-{\frac {\Delta }{2m}}\right){\hat {\psi }}(\mathbf {r} )d\mathbf {r} ,

в представлении вторичного квантования он же запишется следующим образом:

{\hat {H_{0}}}=\sum \varepsilon _{0}(\mathbf {p} ){\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}{\hat {a}}_{\mathbf {p} },\quad \varepsilon _{0}(\mathbf {p} )=p^{2}/2m,

что следует из определения ${\hat {\psi }}$ -операторов:

{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum e^{i\mathbf {p} \mathbf {r} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} },\qquad {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}={\frac {1}{\sqrt {V}}}\sum e^{-i\mathbf {p} \mathbf {r} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}.

Температурная функция Грина свободных частиц в импульсно-«временном» представлении :

G(\mathbf {p} ,\tau ,\tau ')=e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )(\tau -\tau ')}\left(\Theta (\tau '-\tau )\mp {\frac {1}{e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )\beta }\pm 1}}\right),

здесь $\xi _{0}(\mathbf {p} )=\varepsilon _{0}(\mathbf {p} )-\mu ,\quad \beta =1/T.$

Взаимодействующие частицы

Предположим, что на систему частиц не действуют внешние поля, а межчастичные взаимодействия носят парный характер. Гамильтониан системы представим в виде: ${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{int}.$ Введём мацубаровские операторы в представлении взаимодействия соотношениями[5]:

{\hat {\Phi }}(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )e^{-\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})},

{\hat {\Phi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )=e^{\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}{\hat {\psi }}(\mathbf {r} )^{+}e^{-\tau ({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}.

Возмущённая часть гамильтониана выраженный через ${\hat {\Phi }}$ — операторы имеет вид:

{\hat {H}}_{int}={\frac {1}{2}}\int \int d\mathbf {r_{1}} d\mathbf {r_{2}} {\hat {\Phi }}(\mathbf {r_{1}} ,\tau ){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\mathbf {r_{1}} ,\tau )U(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} ){\hat {\Phi }}(\mathbf {r_{2}} ,\tau ){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\mathbf {r_{2}} ,\tau ).

Через эти же операторы можно определить температурную функцию Грина:

G(\tau _{1},\mathbf {r} _{1};\tau _{2},\mathbf {r} _{2})=-{\frac {Tr\left\{e^{({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})\beta }T_{\tau }{\hat {\Phi }}(\tau _{1},\mathbf {r} _{1}){\hat {\Phi }}^{\dagger }(\tau _{2},\mathbf {r} _{2})S(\beta )\right\}}{Tr\left\{e^{\frac {({\hat {H}}_{0}-\mu {\hat {N}})}{T}}S(\beta )\right\}}},

S(\beta )=T_{\tau }\exp {\left(-\int \limits _{0}^{\beta }{\hat {H}}_{int}(\tau )d\tau \right)}.

Такая запись позволяет разложить экспоненту с возмущением и вычислять температурную функцию Грина в виде ряды, а каждый член ряда изображать графически в виде диаграммы.

Правила температурной диаграммной техники. Координатное представление.
	Элементы Диаграммы		Аналитическое выражение
	название	изображение	Аналитическое выражение
1	Сплошная линия		$G_{0}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\tau _{1}-\tau _{2})$
2	Сплошная линия		$G_{0}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\tau _{2}-\tau _{1})$
3	Волнистая линия		${\mathfrak {U}}(x_{1}-x_{2})=U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\delta (\tau _{1}-\tau _{2})$
4	Изобразить все связные топологически неэквивалентные диаграммы с 2n вершинами и двумя внешними концами, причем в каждой вершине сходится две сплошные и одна волнистая линия.
5	Производится интегрирование по координатам ( $d^{4}z=d\mathbf {r} d\tau$ ) каждой вершины.
6	Полученное выражение умножается на $(-1)^{n+F}$ , n-порядок диаграммы, F-число замкнутых фермионных петель в ней.

Пользуясь этими правилами изобразим поправку первого порядка по возмущению к температурной функции Грина взаимодействующих частиц. Для этого нужно ограничиться линейным членом в разложение экспоненты. Тогда, привлекая во внимание теорему Вика, нарисуем все связные (любые две точки на диаграмме можно соединить линией) диаграммы первого порядка:

gren1

Соответствующее аналитическое выражение, например, для диаграммы 2 запишется следующим образом:

Diag_{2}(x-y)=-\iint d^{4}zd^{4}wG_{0}(x-z)G_{0}(z-w)G_{0}(w-y){\mathfrak {U}}(z-w).

Для расчётов координатное представление оказывается неудобным, поэтому всю диаграммную технику проще сформулировать в импульсно-частотном представлении, пользуясь обычными правилами фурье-анализа. В таком представлении аналитическое выражение рассматриваемой диаграммы примет вид:

Diag_{2}(\mathbf {p} ,\omega _{n})=-{\frac {T}{(2\pi )^{3}}}\sum \limits _{\omega _{m}}\int d\mathbf {p} _{1}G_{0}^{2}(\mathbf {p} ,\omega _{n})G_{0}(\mathbf {p} _{1},\omega _{m}){\mathfrak {U}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1},\omega _{n}-\omega _{m}),

где функция Грина свободной системы имеет вид[6]:

G_{0}(\mathbf {p} ,\omega _{n})={\frac {1}{i\omega _{n}-\varepsilon _{0}(\mathbf {p} )+\mu }},

\omega _{n}=(2n+1)\pi T

— для фермионов,

\omega _{n}=2n\pi T

— для бозонов.

Правила температурной диаграммной техники. Импульсно-частотное представление.
	Элементы Диаграммы		Аналитическое выражение
	название	изображение	Аналитическое выражение
1	Сплошная линия		$G_{0}(\mathbf {p} ,\omega _{n})$
3	Волнистая линия		${\mathfrak {U}}(\mathbf {p} ,\omega _{n})=U(\mathbf {p} )$
4	Сопоставить линиям диаграммы внешние импульсы и частоты. Импульсы и частоты внутренних линий в каждой вершине должны удовлетворять законам сохранения $\sum \mathbf {p} =0,\sum \omega =0$
5	По всем независимым импульсам производится интегрирование, по частотам — суммирование.
6	Полученное выражение умножается на $(-1)^{k}{\frac {T^{k}}{(2\pi )^{3k}}}(2s+1)^{F}(\mp )^{F}$ , k-порядок диаграммы, F-число замкнутых петель в диаграмме, s — спин частицы.

В простейшем случае (Л.Ландау) потенциал можно взять в виде $U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\sim \delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}),,$ что соответствует нулевому радиусу взаимодействия. Графически это соответствует стягиванию двух точек, которые соединены волнистой линией в одну.

Метод функционального интегрирования

При переходе от классической статистической механики к квантовой, интегрирование по канонически сопряженным переменным $p,q$ заменяется на след, то есть на сумму по состояниям.[7] Таким образом, статистическая сумма квантовой системы с оператором Гамильтона ${\hat {H}}$ определяется как

Z=Tre^{-\beta {\hat {H}}}=\sum \limits _{n}{\langle n\vert e^{-\beta {\hat {H}}}\vert n\rangle }.

Видно, что член под знаком суммы похож на матричный элемент оператора эволюции с точностью до замены $t\rightarrow -i\beta$ . Этот матричный элемент дается формулой Фейнмана-Каца[8]:

\langle q_{2}\vert e^{-it{\hat {H}}}\vert q_{1}\rangle =\int \prod \limits _{t}{\frac {dp(t)dq(t)}{2\pi }}\exp {\left(i\int \limits _{0}^{t}\left(p{\dot {q}}-H(p,q)\right)dt\right)}.

Обратим внимание на то, что в функциональном интеграле величины $p,q,H(p,q)$ являются классическими функциями, и при дальнейших вычислениях не возникает проблемы с коммутационными соотношениями. Сделаем в этой формуле поворот Вика и отождествим $q\sim \psi (x,\tau ),p\sim i\psi ^{+}(x,\tau )$ , тогда выражений для статистической суммы преобразится к виду:

Z=\int \limits _{B.C.}{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}\psi ^{+}e^{-S_{\beta }},\qquad B.C.={\begin{cases}\psi (x,\tau )=\psi (x,\tau +\beta ),&{\text{Bose}}\\\psi (x,\tau )=-\psi (x,\tau +\beta ),&{\text{Fermi}}\end{cases}},

где $S_{\beta }$ действие температурной теории, интегрирование ведётся по полям с соответствующими граничными условиями (B.C.) В случае идеального газа

S_{\beta }^{0}=\int \limits _{0}^{\beta }d\tau \int d\mathbf {x} \psi ^{+}(x,\tau )\left(\partial _{\tau }+{\frac {\Delta }{2m}}-\mu \right)\psi (x,\tau ).

Парное взаимодействие можно учесть в виде члена типа плотность-плотность[9]

S_{\beta }^{int}={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\beta }d\tau \int d\mathbf {x} d\mathbf {x'} \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x,\tau )U(\mathbf {x} -\mathbf {x'} )\psi ^{+}(x',\tau )\psi (x',\tau ).

Как было сказано выше объекты $\psi (x,\tau ),\psi ^{+}(x,\tau )$ не являются полевыми операторами. В случае фермионов они являются грассмановыми функциями, что является наследием антисимметричности фермионных волновых функций.

Определение температурной функции Грина

Определим функцию Грина как среднее от произведения нескольких полей с весом $\exp(-S_{\beta })$ .[10] Так парная корреляционная функция даётся выражением

G(x,x',\tau ,\tau ')=\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle ={\frac {1}{Z}}\int \limits _{B.C.}{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}\psi ^{+}\psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau )e^{-S_{\beta }},\quad S_{\beta }=S_{\beta }^{0}+S_{\beta }^{int}.

Для корректного определения этого объекта, как можно показать, нужно доопределение $G(x,x',\tau =\tau ')=G(x,x',\tau =\tau '+0).$

Случай свободных частиц

Вычислим функцию Грина для невзаимодействующих частиц. Как известно[11], для этого нужно найти ядро оператора $\left(-\partial _{\tau }+{\hat {H}}_{1}\right)^{-1}$ c учётом граничных условий, то есть решить уравнение

\left(-\partial _{\tau }+{\hat {H}}_{1}\right)G_{0}(x,x',\tau ,\tau ')=\delta (x-x')\delta (\tau -\tau ').

Уравнение элементарно решается в $p-\tau$ представлении

G_{0}(\mathbf {p} ,\tau ,\tau ')=e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )(\tau -\tau ')}\left(\Theta (\tau '-\tau )\mp {\frac {1}{e^{\xi _{0}(\mathbf {p} )\beta }\pm 1}}\right).

Как видно, эта функция Грина совпадает с функцией Грина полученной с помощью мацубаровских операторов. Доопределение этой функции при совпадающих «временах» означает, что тета-функция в нуле равна нулю.

Взаимодействующие частицы

Рассмотрим, например, бозоны с межчастичным взаимодействием типа $U(x-x')=\lambda \delta (x-x'),\lambda >0.$ Для вычисления по теории возмущений разложим экспоненту со взаимодействием в ряд по параметру $\lambda$ и для простоты ограничимся первым порядком[12]

\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle ={\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle }_{0}-{\frac {\lambda }{2}}\int \limits _{0}^{\beta }dt\int d\mathbf {y} {\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\left(\psi ^{+}(y,\tau )\psi (y,\tau )\right)^{2}\rangle }_{0}+O(\lambda ^{2}).

Построим соответствующую диаграммную технику

Правила температурной диаграммной техники. Координатное представление.
	Элементы Диаграммы		Аналитическое выражение
	название	изображение	Аналитическое выражение
1	Крест		$\psi ^{+}(x,\tau )$
2	Точка		$\psi (x,\tau )$
3	Пропагатор		${\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle }_{0}=G_{+,0}(x,x',\tau ,\tau ')$
4	Пропагатор		${\langle \psi (x',\tau ')\psi ^{+}(x,\tau )\rangle }_{0}=G_{0,+}(x',x,\tau ',\tau )$
3	Вершина		$\left(\psi ^{+}(x,\tau )\psi (x,\tau )\right)^{2}$
5	Домножить каждую вершину на $(-\lambda /2)^{n}r/n!$ , где n-порядок диаграммы, r-симметрийный коэффициент-число топологически эквивалентных графов.
5	По всем координатам вершин производится интегрирование.

Изобразим в первом порядке все связные графы

graph+

.

Существует только одна диаграмма, для неё $r=4$ . Соответствующее аналитическое выражение для поправки

Diag=-2\lambda \int \limits _{0}^{\beta }dt\int dyG_{+,0}(x,y,\tau ,t)G_{+,0}(y,y,t,t)G_{+,0}(y,x',t,\tau '),

это выражение в точности совпадает с полученным ранее в операторном методе. Для рассматриваемого потенциала две диаграммы 1 и 2 становятся эквивалентными, поэтому для получения однопетлевого вклада, нужно выражение для одной из диаграмм умножить на 2. Конечно и в этом случае разумно перейти в импульсное представление. Правила построения диаграмм в импульсном представлении здесь такие же, как и ранее.

Примечания

Исихара А. Статистическая физика. — М.: Мир, 1973. — С. 408.
Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. — М.: Добросвет, КДУ, 2006. — С. 153. — ISBN 5-98227-171-3.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. 2 // Статистическая физика. — М.: Наука, 1976. — С. 172.
Хакен X. Квантовополевая теория твёрдого тела. — М.: Наука, 1980. — С. 99.
Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. — М.: Добросвет, КДУ, 2006. — С. 166. — ISBN 5-98227-171-3.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. 9 // Статистическая физика. — М.: Наука, 1976. — С. 180.
Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. — Ленинград: Ленингр. Ун-та, 1976. — С. 162.
Вергелес С. Лекции по квантовой электродинамике. — М.: Физматлит, 2008. — С. 7. — ISBN 978-5-9221-0892-8.
Комарова М.В., Налимов М.Ю., Новожилова Т.Ю. Фазовые переходы в квантовых системах: сверхтекучесть и сверхпроводимость. — C-Пб.: Физический факультет СПбГУ.
Попов В. Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. — М.: Атомиздат, 1976. — С. 31.
Матукк Р. Фейнмановские диаграммы в проблеме многих тел. — М.: Мир, 1969. — С. 68.
Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — С-Пб.: ПИЯФ, 1998. — С. 77. — ISBN 5-86763-122-2.

Литература

Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — М.-Ижевск: НИЦ "РХД", 2009. — ISBN 978-5-93972-770-9.
Цвелик A.M. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — ISBN 5-9221-0237-0.
Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. — Oxford: Clarendon Press, 2002. — ISBN 0-19-850923-5.

См. также

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Исихара А. Статистическая физика. — М.: Мир, 1973. — С. 408.

[2] Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. — М.: Добросвет, КДУ, 2006. — С. 153. — ISBN 5-98227-171-3.

[3] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. 2 // Статистическая физика. — М.: Наука, 1976. — С. 172.

[4] Хакен X. Квантовополевая теория твёрдого тела. — М.: Наука, 1980. — С. 99.

[5] Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. — М.: Добросвет, КДУ, 2006. — С. 166. — ISBN 5-98227-171-3.

[6] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. 9 // Статистическая физика. — М.: Наука, 1976. — С. 180.

[7] Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. — Ленинград: Ленингр. Ун-та, 1976. — С. 162.

[8] Вергелес С. Лекции по квантовой электродинамике. — М.: Физматлит, 2008. — С. 7. — ISBN 978-5-9221-0892-8.

[9] Комарова М.В., Налимов М.Ю., Новожилова Т.Ю. Фазовые переходы в квантовых системах: сверхтекучесть и сверхпроводимость. — C-Пб.: Физический факультет СПбГУ.

[10] Попов В. Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. — М.: Атомиздат, 1976. — С. 31.

[11] Матукк Р. Фейнмановские диаграммы в проблеме многих тел. — М.: Мир, 1969. — С. 68.

[12] Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — С-Пб.: ПИЯФ, 1998. — С. 77. — ISBN 5-86763-122-2.