Внешняя алгебра

Внешняя алгебра ${\displaystyle \bigwedge V}$ векторного пространства ${\displaystyle \ V}$ над полем ${\displaystyle K}$ — ассоциативная алгебра над ${\displaystyle K}$, операция в которой обозначается знаком ${\displaystyle \wedge }$, а порождающими элементами являются ${\displaystyle 1,\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n},}$ где ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$ — базис пространства ${\displaystyle \ V}$. Определяющие соотношения имеют следующий вид:

• ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i}\,(i,j=1,\dots ,n),\,\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0;}$
• ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge 1=1\wedge \mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} _{i}\,(i=1,\dots ,n),\,1\wedge 1=1.}$

При этом внешняя алгебра не зависит от выбора базиса.

• Операция ${\displaystyle \wedge }$ называется внешним произведением.
• Подпространство ${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{r}V}$ (для ${\displaystyle r=0,1,\dots ,n}$) в ${\displaystyle \bigwedge V,}$ порождённое элементами вида ${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \dots \wedge e_{i_{r}},}$ называется ${\displaystyle r}$-ой внешней степенью пространства ${\displaystyle V.}$

• Алгебра ${\displaystyle \bigwedge V}$ имеет структуру градуированной алгебры:

${\displaystyle \bigwedge V=\bigoplus _{r=0}^{\infty }\bigwedge \nolimits ^{r}V}$

• Имеют место равенства:

${\displaystyle \operatorname {dim} \bigwedge \nolimits ^{r}V=C_{n}^{r},}$ в частности

${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{r}V=0}$ при ${\displaystyle r>n,}$ а также

${\displaystyle \operatorname {dim} \bigwedge V=2^{n}.}$

• Имеет место градуированная коммутативность (суперкоммутативность) внешнего умножения: ${\displaystyle u\wedge v=(-1)^{rs}v\wedge u}$, если ${\displaystyle u\in \bigwedge \nolimits ^{r}V,v\in \bigwedge \nolimits ^{s}V.}$
• Элементы пространства ${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{r}V}$ называются r-векторами. В случае, когда характеристика основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над ${\displaystyle V,}$ с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
  • В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:

    ${\displaystyle (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}.}$

  • Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу

    ${\displaystyle (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})/2.}$

• Внешний квадрат произвольного вектора ${\displaystyle \omega \in \bigwedge \nolimits ^{1}V}$ нулевой:

${\displaystyle \omega ^{\wedge 2}=\omega \wedge \omega =0.}$

• Для r-векторов при чётном r это неверно. Например

${\displaystyle (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4})^{\wedge 2}=2\cdot \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}.}$

• Линейно независимые системы из ${\displaystyle r}$ векторов ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}$ и ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{r}}$ из ${\displaystyle V}$ порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда ${\displaystyle r}$-векторы ${\displaystyle x_{1}\wedge \dots \wedge x_{r}}$ и ${\displaystyle y_{1}\wedge \dots \wedge y_{r}}$ пропорциональны.

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.
• Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — М.: Мир, 1984.
• Ефимов Н. В. Введение в теорию внешних форм. — М.: Наука, 1977.

• Алгебра Клиффорда
• Тензорная алгебра
• Симметрическая алгебра
• Поливектор