Тензорная алгебра

Пусть V — векторное пространство над полем K. Для любого натурального числа k определим k-ую тензорную степень V как тензорное произведение V на себя k раз:

${\displaystyle T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V}$

Таким образом, T^kV состоит из всех тензоров над V ранга k. Будем считать, что T⁰V — это основное поле K (одномерное векторное пространство над собой).

Определим T(V) как прямую сумму T^kV для всех k = 0,1,2,…

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots }$

Умножение в T(V) определяется задаваемым тензорным произведением каноническим изоморфизмом:

${\displaystyle T^{k}V\otimes T^{\ell }V\to T^{k+\ell }V}$

который потом продолжается по линейности на всю T(V). Такое умножение превращает тензорную алгебру T(V) в градуированную алгебру.

Тензорная алгебра T(V) — это свободная алгебра векторного пространства V. Как и для любой другой свободной конструкции, функтор Т является левым сопряженным функтором забывающего функтора (который в данном случае отправляет К-алгебру в её векторное пространство). Тензорная алгебра удовлетворяет следующему универсальному свойству, которое формализует утверждение, что это наиболее общая алгебра, содержащая пространство V:

Любое линейное отображение ${\displaystyle f:V\to A}$ пространства V над полем К в алгебру A над K может быть единственным образом продолжено до гомоморфизма алгебр ${\displaystyle {\bar {f}}:T(V)\to A}$. Это утверждение выражается коммутативной диаграммой:

Universal property of the tensor algebra

где i — каноническое вложение V в T(V). Тензорную алгебру можно определить как единственную (с точностью до изоморфизма) алгебру, обладающую таким свойством, хотя необходимо ещё явно показать, что такая алгебра существует.

Приведенное выше универсальное свойство показывает, что тензорная алгебра функториальна, то есть T — это функтор из категории K-Vect векторных пространств над K в категорию K-Alg K-алгебр. Функториальность Т означает, что любое линейное отображение из V в W может быть единственным образом продолжено до гомоморфизма из алгебры T(V) в T(W).

Если размерность V конечна и равна n, то тензорную алгебру можно рассматривать как алгебру многочленов над K с n некоммутативными переменными. Базисным векторам V соответствуют некоммутативные переменные, причем их умножение будет ассоциативным, дистрибутивным и K-линейным.

Заметим, что алгебра многочленов над V — это не ${\displaystyle T(V)}$, а ${\displaystyle T(V^{*})}$: однородная линейная функция на V является элементом сопряженного пространства ${\displaystyle V^{*}}$.

В силу общности тензорной алгебры многие другие важные алгебры пространства V можно получить, накладывая определенные ограничения на образующие элементы тензорной алгебры, то есть строя факторалгебры от T(V). Например, так можно построить внешнюю алгебру, симметрическую алгебру и алгебру Клиффорда.

Конструкция тензорной алгебры над линейным пространством естественно обобщается до тензорной алгебры над модулем M над коммутативным кольцом. Если R — некоммутативное кольцо, можно построить тензорное произведение для любых R-бимодулей над M. Для обычных R-модулей оказывается невозможным построить кратное тензорное произведение.

• Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.:Издательство «Факториал Пресс» — 2002, ISBN 5-88688-060-7

• Алгебра Клиффорда
• Внешняя алгебра
• Симметрическая алгебра