Представление Гейзенберга

Согласно постулатам квантовой механики каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряжённый оператор ${\displaystyle {\hat {A}}}$, а чистое состояние описывается вектором из гильбертова пространства ${\displaystyle |\Psi \rangle }$. В представлении Гейзенберга вектор состояния от времени не зависит, а эволюция системы описывается уравнением:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {A}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {A}}_{H}(t)]+{\frac {\partial {\hat {A}}_{H}}{\partial t}},}$

где частная производная означает явную зависимость физической величины от времени.

Пусть ${\displaystyle {\hat {A}}(t)}$ - оператор в представлении Шрёдингера, а ${\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)}$ - оператор в представлении Гейзенберга. Тогда переход от одного представления к другому определяется унитарным преобразованием:

${\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)={\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0}),}$

где ${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})}$ - оператор эволюции:

${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}}$

${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})={\overline {T}}\left\{\exp \left({{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{t_{0}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t<t_{0}}$

где ${\displaystyle T,{\overline {T}}}$ - операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени. В частности, если оператор Гамильтона не зависит от времени, то

${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{0})}\right),}$

и унитарное преобразование принимает вид:

${\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t)e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.}$

Вектор состояния, в представлении Шрёдингера, удовлетворяет уравнению Шрёдингера:

${\displaystyle {\hat {H}}(t)\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,}$

где ${\displaystyle {\hat {H}}(t)}$ - оператор Гамильтона.

Введем оператор эволюции ${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})}$, который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой:

${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle .\qquad (2)}$

Подставив формулу (2) в уравнение Шрёдингера получим, что оператор эволюции удовлетворяет уравнению:

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}{\hat {S}}(t,t_{0})={\hat {H}}(t){\hat {S}}(t,t_{0}),\qquad (3)}$

${\displaystyle {\hat {S}}(t_{0},t_{0})={\hat {I}},}$

где ${\displaystyle {\hat {I}}}$ - единичный оператор. В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:

${\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.}$

Теперь рассмотрим среднее значение оператора ${\displaystyle {\hat {A}}}$ некоторой наблюдаемой величины:

${\displaystyle \langle {\hat {A}}(t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {A}}(t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|{\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle =\langle \Psi (t_{0})|{\hat {A}}_{H}(t)|\Psi (t_{0})\rangle .}$

Таким образом, оператор ${\displaystyle {\hat {A}}}$ в представлении Гейзенберга определяется формулой:

${\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)={\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0}).\qquad (4)}$

В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то

${\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t)e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.}$

Продифференцируем формулу ${\displaystyle (4)}$ по времени и используем уравнение ${\displaystyle (3)}$, тогда получим уравнение движения операторa ${\displaystyle {\hat {A}}(t)}$ в Гейзенберговском представлении:

${\displaystyle {d \over dt}{\hat {A}}_{H}(t)={i \over \hbar }[{\hat {H}}(t),{\hat {A}}_{H}(t)]+{\partial \over \partial t}{\hat {A}}_{H}(t),\qquad (5)}$

где частная производная обозначает явную зависимость оператора ${\displaystyle {\hat {A}}(t)}$ от времени.

Оператор Гамильтона квантового гармонического осциллятора в представлении операторов рождения и уничтожения имеет вид:

${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega ({\hat {a}}_{H}^{\dagger }{\hat {a}}_{H}+1/2).}$

Так как операторы рождения и уничтожения не зависят от времени в представлении Шрёдингера, то уравнение ${\displaystyle (5)}$ перепишется в виде

${\displaystyle i\hbar {d \over dt}{\hat {a}}_{H}(t)=-\hbar \omega [{\hat {a}}_{H}^{\dagger }{\hat {a}}_{H}+1/2,{\hat {a}}_{H}(t)],}$

${\displaystyle i\hbar {d \over dt}{\hat {a}}_{H}(t)=\hbar \omega {\hat {a}}_{H}(t),}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{H}(t)={\hat {a}}e^{-i\omega (t-t_{0})},}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{H}^{\dagger }(t)={\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega (t-t_{0})},}$

где были использованы (анти)коммутационные соотношения для операторов уничтожения и рождения ${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]_{\mp }=1.}$

Представление Гейзенберга используется в релятивистской теории, а также в задачах статистической физики.

• Квантовая механика
• Представление Шрёдингера
• Представление взаимодействия
• Уравнение Шрёдингера
• Волновая функция
• Оператор (физика)

• Параграф 6. Представление Шредингера и Гейзенберга // Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М.: Наука, 1980. — С. 55-56.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2. Параграф 13. Гейзенберговское представление операторов.
• Параграф 10. Представление Гейзенберга. Глава VIII // Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — С. 306-307.
• Параграф 3.4. Гейзенберговская картина // Садбери А. Квантовая механика и физика элементарных частиц. — М.: Мир, 1989. — С. 154-155.
• Сербо В. Г., Хриплович И. Б. Квантовая механика: Учебное пособие. — Новосибирск: Изд-во Новосибирского государственного университета, 2008. — 274 c. — ISBN 978-5-94356-642-4

• Гейзенберга представление — статья из Физической энциклопедии
• Heisenberg picture (англ.)