Квантовое состояние

Для описания возможных состояний заданной квантовой системы применяется математический аппарат гильбертова пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, позволяющий практически полностью описать всё, что может происходить с системой.

Для описания квантового состояния в этом случае вводится так называемый вектор состояния (амплитуда состояния), представляющий собой множество математических величин, которое полностью описывает квантовую систему. К примеру, множество 4 чисел {${\displaystyle n\ }$, ${\displaystyle \ell \ }$, ${\displaystyle m_{\ell }\ }$, ${\displaystyle m_{s}}$} определяет состояние электрона в атоме водорода, и называются квантовыми числами электрона.

Подобная конструкция оказывается возможной благодаря принципу суперпозиции для квантовых систем. Он проявляется в том, что если существуют два возможных состояния квантовой системы, причём в первом состоянии некоторая наблюдаемая величина может принимать значения p₁, p₂, …, а во втором — q₁, q₂,… , то существует и состояние, называемое их суперпозицией, в котором эта величина может принимать любое из значений p₁, p₂, …, q₁, q₂,…. Количественное описание этого явления приведено ниже.

Будем обозначать вектор состояния, соответствующий состоянию ${\displaystyle \psi }$, как ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$. Сопряжённый вектор, соответствующий состоянию ${\displaystyle \psi }$, будем обозначать как ${\displaystyle \left\langle \psi \right|}$. Скалярное произведение векторов ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ и ${\displaystyle \left|\phi \right\rangle }$ будем обозначать как ${\displaystyle \left\langle \phi |\psi \right\rangle }$, а образ вектора ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ под действием оператора ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ будем обозначать ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left|\psi \right\rangle }$. Символ ${\displaystyle \left\langle \psi \right|}$ называется бра (англ. bra), а символ ${\displaystyle \psi }$, как ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ — кет (англ. ket). Подобные обозначения в целом согласуются с обозначениями обычной линейной алгебры, но более удобны в квантовой механике, так как позволяют более наглядно и коротко называть используемые векторы. Такие обозначения были впервые введены Дираком. Названия векторов образованы разбиением слова bracket (скобка) на две звучные части — bra и ket.

Всякий ненулевой вектор из пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ соответствует некому чистому состоянию. Однако векторы, различающиеся лишь умножением на ненулевое комплексное число, отвечают одному физическому состоянию. Иногда полагают, что вектор состояния ${\displaystyle |\psi \rangle }$ обязан быть «нормирован на единицу»: ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$ — любой ненулевой вектор приобретает это свойство, если разделить его на свою норму ${\displaystyle {\sqrt {\langle \psi |\psi \rangle }}}$.

Если мы рассмотрим два различных состояния, то суперпозиции (всевозможные линейные комбинации) пары соответствующих им векторов дадут двумерное линейное комплексное пространство. Соответственное множество физических состояний будет представлять двумерную поверхность — сферу Римана.

При рассмотрении квантовой системы, состоящей из двух подсистем, пространство состояний строится в виде тензорного произведения. Подобные системы, помимо комбинаций состояний своих подсистем, имеют также и сцепленные (запутанные) состояния.

Если система имеет хотя бы два физически различных состояния, то мощность множества возможных векторов состояния (даже с точностью до умножения на комплексное число), разумеется, бесконечна. Однако под количеством состояний квантовой системы подразумевают количество линейно независимых состояний, то есть размерность пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Это вполне соответствует интуиции, поскольку описывает количество возможных исходов измерения; к тому же при тензорном произведении (то есть построении составной системы) размерности пространств перемножаются.

В контексте рассмотрения замкнутой квантовой системы (то есть решения уравнения Шрёдингера) под состояниями могут пониматься только стационарные состояния — собственные векторы гамильтониана, отвечающие различным уровням энергии. В случае конечномерного пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ и при отсутствии вырождения число уровней энергии (и соответствующих им состояний) будет равно размерности пространства.

Чистое состояние — это полностью указанное квантовое состояние. Если данный квантовый объект (например, какая-то элементарная частица) находится в чистом состоянии, это означает, что у нас есть вся информация о ней. Только чистые состояния полностью можно описать волновыми функциями.

• Плотность состояний
• Квантовая наблюдаемая

• Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шрёдингера. М.: Изд-во МГУ, 1983. 392 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c. Глава IV.
• Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.
• Isham, Chris J. Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations. — Imperial College Press, 1995.
• Bratteli, Ola. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1 / Ola Bratteli, Robinson, Derek W. — Springer, 1987. — ISBN 2nd edition.
• Bengtsson I. Geometry of Quantum States / Bengtsson I, Życzkowski K. — Cambridge : Cambridge University Press, 2006.