Плотность состояний

Чтобы вычислить плотность состояний энергии для частицы, сначала вычислим плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или ${\displaystyle k}$-пространство). Расстояние между состояниями задано граничными условиями. Для свободных электронов и фотонов в пределах ящика размера ${\displaystyle L}$, и для электронов в кристаллической решётке с размером решётки ${\displaystyle L}$ используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана. Используя волновую функцию свободной частицы, получаем

${\displaystyle {\begin{matrix}e^{ikx}&=&e^{ik(x+L)}\\1&=&e^{ikL}\\2\pi n&=&kL\\{\frac {2\pi }{L_{x}}}&=&\Delta k\\\end{matrix}}}$

где ${\displaystyle n}$ — любое целое число, а ${\displaystyle \Delta k}$ — расстояние между состояниями с различными ${\displaystyle k}$.

Полное количество ${\displaystyle k}$-состояний, доступных для частицы — это объём ${\displaystyle k}$-пространства, доступного для неё, делённый на объём ${\displaystyle k}$-пространства, занимаемого одним состоянием. Доступный объём — это просто интеграл от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle k}$.

Объём ${\displaystyle k}$-пространства для одного состояния в ${\displaystyle n}$-мерном случае запишется в виде

${\displaystyle G(k)={\frac {g_{s}}{\left({\Delta k}\right)^{n}}}\int \limits _{0}^{k}\,{d^{n}{\mathbf {k} }},}$

где ${\displaystyle g_{s}}$ — вырождение уровня (обычно это спиновое вырождение, равное 2). Это выражение нужно продифференцировать, чтобы найти плотность состояний в ${\displaystyle k}$-пространстве: ${\displaystyle g(k)\,dk={\frac {dG(k)}{dk}}\,dk}$. Чтобы найти плотность состояний по энергии, нужно знать закон дисперсии для частицы, то есть выразить ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle dk}$ в выражении ${\displaystyle g(k)dk}$ в терминах ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle dE}$. Например для свободного электрона: ${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}}$, ${\displaystyle dE={\frac {\hbar ^{2}k}{m}}\,dk.}$

С более общим определением связано соотношение (обычно подразумевают единичный объём, но при общей форме записи добавляется множитель ${\displaystyle 1/V}$)

${\displaystyle D(E)=\sum _{s}~\delta (E-E_{s})}$

где индекс ${\displaystyle s}$ соответствует некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра, а ${\displaystyle \delta }$ — дельта-функция Дирака. При переходе от суммирования к интегрированию по фазовому пространству размерности ${\displaystyle 2n}$ следует использовать правило

${\displaystyle \sum _{s}\rightarrow \int {\frac {d^{n}p~d^{n}q}{(2\pi \hbar )^{n}}}}$

где ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка, ${\displaystyle p}$ — импульс, ${\displaystyle q}$ — пространственные координаты (в случае, если объём единичный, этот интеграл опускают).

В следующей таблице представлены плотность состояний для электронов с параболическим законом дисперсии

	Доступный объём	Объём для одного состояния	Плотность состояний
${\displaystyle 3D}$	${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi k^{3}}$	${\displaystyle {\frac {(2\pi )^{3}}{L_{x}L_{y}L_{z}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2m^{3}}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\sqrt {E}}}$
${\displaystyle 2D}$	${\displaystyle \pi k^{2}}$	${\displaystyle {\frac {(2\pi )^{2}}{L_{x}L_{y}}}}$	${\displaystyle {\frac {m}{\pi \hbar ^{2}L_{x}}}\sum _{l}\Theta (E-E_{l})}$
${\displaystyle 1D}$	${\displaystyle 2k}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{L_{x}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2m}}{\pi \hbar L_{x}L_{y}}}\sum _{l}{\frac {1}{\sqrt {E-E_{l}}}}}$
${\displaystyle 0D}$			${\displaystyle {\frac {2}{L_{x}L_{y}L_{z}}}\sum _{l}\delta (E-E_{l})}$

где ${\displaystyle l}$ — индекс подзоны размерного квантования, ${\displaystyle \Theta }$ - функция Хевисайда. Здесь рассмотрен не чистый случай, а когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

• Britney Spears' Guide to Semiconductor Physics