Закон дисперсии

Зако́н диспе́рсии, или дисперсионное соотношение, в теории волн — функция зависимости частоты волны от волнового вектора:

\omega =\omega (\mathbf {k} )

.

Математический вид этой зависимости, выражающей связь временнóй и пространственной периодичности волны, определяется свойствами рассматриваемых колебаний и среды, в которой они распространяются.

Из закона дисперсии можно получить фазовую и групповую скорости волны:

\mathbf {v} _{\text{ph}}={\frac {\omega }{k}}\cdot {\frac {\mathbf {k} }{k}},\quad \mathbf {v} _{\text{gr}}={\frac {d\omega }{d\mathbf {k} }}

.

В простейшем случае линейной связи $\omega$ и $k$ эти скорости совпадают.

Законы дисперсии существуют для волн любой природы, в том числе для электромагнитных и упругих. Концепция корпускулярно-волнового дуализма позволяет записать данный закон также для волн де Бройля, ассоциируемых с частицами, например электронами.

Иногда дисперсионное соотношение задаётся в виде зависимости

E=E(\mathbf {k} )

для энергии кванта колебаний (фотона, фонона) $E=\hbar \omega$ или частицы, где $\hbar$ — постоянная Планка-Дирака.

Волновое уравнение и дисперсия

В гармоническом решении классического волнового уравнения фазовая скорость не зависит от волнового числа. Однако различные эффекты, возникающие в среде, могут приводить к появлению дополнительных членов в дифференциальном уравнении, описывающем распространение в этой среде волн. При подстановке в такое уравнение гармонической функции, можно увидеть, что она всё ещё является решением, но связь между частотой и волновым числом уже не линейная, что эквивалентно зависимости фазовой скорости от волнового числа.

Нахождение дисперсионного соотношения

Дисперсионные соотношения могут быть рассчитаны в рамках тех или иных моделей среды.

Экспериментально они не измеряются напрямую, но подлежат определению на основе анализа распространения волн. Например, закон дисперсии электромагнитной волны в некоторой среде можно получить на базе измерений частотной зависимости показателя преломления.

Примеры для волн различных типов

Дисперсия видимого света в оптике

Разложение пучка света в спектр при прохождении стеклянной призмы вследствие явления дисперсии света в стекле — нелинейности закона дисперсии для света в среде

Дисперсия возникает, если фазовая скорость распространения волны зависит от её волнового числа, что имеет место, когда закон дисперсии нелинеен. Среда, в которой возникает дисперсия, называется дисперсионной или диспергирующей средой. Такой средой в частности является стекло. Можно показать, что нелинейное дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в стекле, приводит к зависимости показателя преломления от длины волны.

Дисперсия стекла и закон Снеллиуса приводят к возможности использования стеклянной призмы в качестве простейшего спектрального прибора (см. картинку).

Упругие колебания атомов в цепочке

Пусть дана одномерная линейная цепочка атомов массой $m$ , расстояние между ними $d$ . Сместим $n$ -й атом на малое расстояние $u_{n}$ . Тогда из-за малости отклонения сила взаимодействия атомов будет квазиупругой.

Обозначения:

k

— волновое число;

\omega

— частота.

С учётом ближайших соседей

F_{n}=-\beta (u_{n}-u_{n+1})-\beta (u_{n}-u_{n-1})=\beta (u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1}),

где

\beta

— коэффициент квазиупругой силы.

Запишем уравнение движения для $n$ -го атома:

ma=F\quad \Longleftrightarrow \quad m{\cfrac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}=\beta (u_{n+1}-2u_{n}+u_{n-1}).

Пусть решение имеет вид $Ae^{i(kd-\omega t)}.$

Тогда

-m\omega ^{2}=\beta (e^{ikd}+e^{-ikd}-2)=-2\beta (1-\cos kd)=-4\beta \sin ^{2}(kd/2)\quad \Rightarrow \quad \omega =\pm \omega _{m}\sin {kd/2},

где

\omega _{m}=2{\sqrt {\cfrac {\beta }{m}}}.

Это и есть зависимость частоты от волнового числа, то есть закон дисперсии для одноатомной цепочки.

Законы дисперсии для электронов

В физике твёрдого тела закон дисперсии выражает связь между энергией электрона и его волновым вектором. Такие зависимости могут иметь достаточно сложный вид. На их основе рассчитывается эффективная масса электрона в разных квантовых состояниях.

См. также

Дисперсия волн

Примечания

Литература

Стефан А. Тау. Линейные волны в средах с дисперсией // Нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.