Показатель преломления

Для видимого света большинство прозрачных сред имеют показатели преломления от 1 до 2. Несколько примеров приведены в таблице внизу. Эти значения обычно измеряются на длине волны 589 нм, соответствующей дублетной D-линии натрия в жёлтой части спектра[7]. Газы при атмосферном давлении имеют показатель преломления, близкий к 1, из-за их низкой плотности. Почти все твёрдые тела и жидкости имеют показатель преломления выше 1,3, за исключением аэрогеля. Аэрогель — это твёрдое вещество очень низкой плотности, которое может демонстрировать показатель преломления в диапазоне от 1,002 до 1,265[8]. Муассанит находится на другом конце диапазона с показателем преломления до 2,65. Большинство пластиков имеют показатели преломления в диапазоне от 1,3 до 1,7, но некоторые полимеры с высоким показателем преломления могут иметь значения до 1,76[9].

Для инфракрасного света показатели преломления могут быть значительно выше. Германий прозрачен в диапазоне длин волн от 2 до 14 мкм и имеет показатель преломления около 4[10]. Во второй половине 2000-х годов был обнаружен тип новых материалов, получивших название топологических изоляторов, которые имеют очень высокий показатель преломления — до 6 в ближней и средней зонах инфракрасного диапазона частот. Более того, топологические изоляторы прозрачны при наноразмерных толщинах. Эти свойства потенциально важны для приложений в инфракрасной оптике[11].

Падение и преломление лучей (волн) света

Свет, распространяющийся в неоднородной среде, проходит из одной точки в другую за минимальное время. Из этого принципа можно вывести закон преломления света на границе раздела между средами с разными показателями преломления, который называется законом Снеллиуса[12]. Он выражается в виде дроби[1]

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}\,,}$

(Ур. 1.1)

где θ₁ и θ₂ — углы падения и преломления луча света соответственно, которые отсчитываются от нормали к границе между средами, проведённой через точку падения луча. v₁ и v₂ — фазовые скорости в первой среде (из которой падает свет, на рисунке сверху) и второй среде (в которую свет проникает, на рисунке нижняя)[13]. Этот закон можно записать через показатели преломления двух сред, зная, что v₁=c/n₁ и v₂=c/n₂ (c — скорость света в вакууме)[12]:

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}\,.}$

(Ур. 1.2)

Закон Снеллиуса выполняется только для неподвижных сред. Для релятивистских скоростей поперечного движения прозрачной среды вследствие аберрации эффективный коэффициент преломления будет зависеть от скорости среды, что позволяет определять скорость движения среды[14].

Часть волны проходит через границу, а часть отражается

При падении на границу раздела двух сред только часть света проходит из среды с меньшим показателем преломления в среду с бо́льшим, а часть — отражается обратно. Чем сильнее отличаются показатели преломления сред, тем бо́льшая часть света отражается. В случае падения света по нормали к поверхности коэффициент отражения выражается как[15]:

${\displaystyle R=\left({\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}\right)^{2}\,.}$

(Ур. 1.3)

В этом случае при переходе луча света из воздуха в стекло (показатель преломления 1,5) отражается 4 % падающего света[16], а в случае алмаза (показатель преломления 2,42[17]) — более 17 %[18].

Рассчитать коэффициент отражения света для произвольных углов падения и поляризации можно с помощью формул Френеля[19].

Свет разных цветов имеет немного разные показатели преломления в воде, что приводит к появлению радуги

Показатель преломления зависит от частоты света. Это явление называется дисперсией. В тех диапазонах частот, где вещество прозрачно, преломление увеличивается с частотой[20]. Например, вода и бесцветное стекло преломляют голубой свет сильнее, чем красный[1].

В природе этот эффект приводит к возникновению такого явления как радуга. Разложение света стеклянной призмой заложило основы спектрального анализа, который широко применяется в науке и технике. В то же время дисперсия приводит к трудностям в изготовлении оптических систем. Когда на стеклянную линзу падает пучок немонохроматического света, то лучи разных цветов фокусируются на разном расстоянии и вокруг контрастных деталей изображения образуется радужная кайма. Это явление получило название хроматической аберрации. Её компенсируют путём изготовления линз из разных сортов оптического стекла, имеющих разные показатели преломления[21].

Из-за зависимости показателя преломления от длины волны в таблицах указывают частоту, на которой производились измерения. Обычно применяется частота жёлтой линии натрия (точнее, поскольку эта спектральная линия является двойной, применяется среднее арифметическое от длин линий дублета, 5893 Å); в этом случае показатель преломления обозначается через ${\displaystyle n_{D}}$[22].

Для оценки дисперсии в оптическом диапазоне применяют среднюю дисперсию или главную дисперсию (${\displaystyle n_{F}-n_{C}}$), которая равна разнице показателей преломления на длинах волн красной (λ_C = 6563 Å) и синей линий водорода (λ_F = 4861 Å)[22]. Индексы F и C обозначают соответствующие фраунгоферовы линии[23].

• Дисперсия электромагнитных волн
• 
  Дисперсия в стеклянной призме
• 
  Типичный вид графика зависимости показателя преломления от частоты в широком диапазоне. Резкие падения связаны с инфракрасной, ультрафиолетовой и рентгеновской зонами поглощения[24]
• 
  Зависимость показателя преломления (красный) и коэффициента поглощения (зелёный) кремния от длины волны при температуре 300 К

Другой характеристикой является число Аббе, равное:

${\displaystyle V_{D}={\frac {n_{D}-1}{n_{F}-n_{C}}}\,.}$

(Ур. 1.4)

Большее число Аббе соответствует меньшей средней дисперсии[25].

В широком диапазоне длин волн электромагнитного излучения зависимость показателя преломления от частоты является нелинейной и состоит из участков, где показатель преломления возрастает с частотой — этот случай называется нормальной дисперсией (поскольку такая ситуация типична), — и небольших участков, где показатель преломления стремительно падает, что называется аномальной дисперсией. Участки аномальной дисперсии обычно расположены вблизи линий поглощения вещества[26].

Отражение и преломление света, падающего под углом Брюстера на границу раздела двух сред

Интенсивности преломлённой и отражённой волн зависят от поляризации падающего света: s-поляризованный свет имеет более высокий коэффициент отражения, тогда как p-поляризованный лучше проникает в среду. Поэтому даже если на границу раздела сред падает неполяризованный свет, и преломлённый, и отражённый лучи становятся частично поляризованными (если угол падения не равен нулю). Если угол между отражённым и преломлённым лучами составляет 90°, отражённый свет становится полностью поляризованным. Угол падения, при котором это происходит, называется углом Брюстера. Его значение зависит от относительного показателя преломления сред[27]:

${\displaystyle \operatorname {tg} \theta _{B}=n_{12}\,.}$

(Ур. 1.5)

В случае падения под таким углом преломлённый луч не становится полностью поляризованным, но степень его поляризации является максимальной[27].

Существует другое определение показателя преломления, связывающее его с диэлектрической проницаемостью среды ε, определяемое следующим образом

${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{0}}}=n^{2}\,,}$

(Ур. 1.6)

где ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — диэлектрическая проницаемость вакуума[28]. Диэлектрическая проницаемость представляется в виде ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}(1+\chi (\omega ))}$. Она зависит от частоты и может приводить к комплексному коэффициенту преломления, так как ${\displaystyle n^{2}=1+\chi (\omega )}$[29]. Здесь ${\displaystyle \chi (\omega )}$ — диэлектрическая восприимчивость, характеристика, специфичная для каждой среды, которая может принимать как действительные, так и комплексные значения. Она связывает поляризацию материала ${\displaystyle {\vec {P}}}$ и электрическое поле по формуле[30]

${\displaystyle {\vec {P}}=\varepsilon _{0}\chi (\omega ){\vec {E}}\,.}$

(Ур. 1.7)

Это определение приводит к действительным значениям для немагнитных сред[31] и описывает внутреннюю характеристику среды, которая позволяет установить, как падающая световая волна поляризует среду. И диэлектрическая проницаемость, и диэлектрическая восприимчивость являются действительными или комплексными величинами, поэтому показатель преломления также может иметь комплексные значения. Мнимая часть показателя преломления связана с поглощением среды, так что существует определённая зависимость между поляризацией материала и ослаблением световой волны в среде[28]. Фактически размерный коэффициент поглощения вычисляется из мнимой части безразмерного показателя преломления по следующей формуле

${\displaystyle \alpha (\omega )={\frac {2\kappa (\omega )\omega }{c}}={\frac {4\pi \kappa (\omega )}{\lambda }}\,,}$

(Ур. 1.8)

где ${\displaystyle \alpha }$ описывает затухание, ${\displaystyle \lambda }$ — длина волны и ${\displaystyle \kappa (\omega )}$ — мнимая часть показателя преломления[32].

Модель ангармонического осциллятора с затуханием оказывается полезной для качественного рассмотрения зависимости показателя преломления в кристаллах без центра инверсии от постоянного электрического поля. Уравнение Ньютона для ангармонического осциллятора записывается в виде[42]

${\displaystyle {\ddot {r}}+2\gamma {\dot {r}}+\omega _{0}^{2}r+\beta r^{2}=-{\frac {e}{m_{e}}}E_{0}\,,}$

(Ур. 2.10)

где ${\displaystyle r}$ — координата, ${\displaystyle \omega _{0}}$ — резонансная частота, ${\displaystyle \beta }$ — постоянная ангармоничности, ${\displaystyle \gamma }$ — описывает затухание, ${\displaystyle E_{0}}$ — постоянное электрическое поле, ${\displaystyle m_{e}}$ — масса электрона, а точки над координатой обозначают полную производную по времени. Для ангармонического осциллятора положение равновесия ${\displaystyle r_{0}}$ определяется уравнением[42]

${\displaystyle \omega _{0}^{2}r_{0}+\beta r_{0}^{2}=-eE_{0}/m_{e}\,.}$

(Ур. 2.11)

При отсутствии ангармонического вклада гармонический осциллятор совершает колебания с резонансной частотой около нового положения равновесия из-за наличия электрического поля. В присутствии малого ангармонического вклада можно принять новое положение равновесия за начало координат, подставив в уравнение движения ${\displaystyle r=r_{0}+q}$. Ввиду малости ангармонического вклада колебание осциллятора в новых координатах примет вид[43]

${\displaystyle {\ddot {q}}+2\gamma {\dot {q}}+(\omega _{0}^{2}+2\beta r_{0})q=0\,.}$

(Ур. 2.12)

Новое уравнение описывает колебания со сдвинутой резонансной частотой, то есть при наличии ангармонизма внешнее постоянное поле не только сдвигает положение равновесия осциллятора, но и изменяет квадрат резонансной частоты на величину ${\displaystyle 2\beta r_{0}}$. В результате сдвига резонансной частоты изменяется и закон дисперсии и, соответственно, показатель преломления на величину

${\displaystyle \Delta n={\frac {\partial n}{\partial \omega }}{\frac {e\beta }{m_{e}\omega \omega _{0}^{2}}}E_{0}\,.}$

(Ур. 2.13)

Электрическое поле — это выделенное направление в кристалле, поэтому в среде возникает зависимость дисперсии от направления распространения света — двулучепреломление. Это явление называется эффектом Поккельса. Как видно из качественной модели, это линейный по электрическому полю эффект[43]. Этот эффект находит применение в модуляторах света[44].

Из уравнений Максвелла можно получить формулу, связывающую скорость света в среде с его диэлектрической и магнитной проницаемостями (обозначаются буквами ${\displaystyle \varepsilon }$ и ${\displaystyle \mu }$ соответственно)[45]

${\displaystyle v={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}\,.}$

(Ур. 3.1)

Таким образом, показатель преломления определяется характеристиками среды[46]:

${\displaystyle n={\frac {c}{v}}={\sqrt {\varepsilon \mu }}\,.}$

(Ур. 3.2)

Магнитная проницаемость очень близка к единице в большинстве реальных прозрачных веществ, поэтому последнюю формулу иногда упрощают до ${\displaystyle n={\sqrt {\varepsilon }}}$. В данном случае, если относительная диэлектрическая проницаемость ${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}}$ имеет комплексную форму с вещественной и мнимой частями ${\displaystyle \varepsilon }$ and ${\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}}$, то комплексный показатель преломления связан с вещественной и мнимой частями по формуле

${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon +i{\tilde {\varepsilon }}={\underline {n}}^{2}=(n+i\kappa )^{2}\,,}$

(Ур. 3.3)

где

${\displaystyle \varepsilon =n^{2}-\kappa ^{2},\qquad {\tilde {\varepsilon }}=2n\kappa \,}$

(Ур. 3.4)

или наоборот

${\displaystyle n={\sqrt {\frac {|{\underline {\varepsilon }}|+\varepsilon }{2}}},\qquad \kappa ={\sqrt {\frac {|{\underline {\varepsilon }}|-\varepsilon }{2}}}\,,}$

(Ур. 3.5)

где ${\displaystyle |{\underline {\varepsilon }}|={\sqrt {\varepsilon ^{2}+{\tilde {\varepsilon }}^{2}}}}$ — абсолютное значение[47].

Диэлектрическая проницаемость в этой формуле может значительно отличаться от табличных значений, поскольку в таблицах обычно приведены значения проницаемости в постоянном электрическом поле. В быстро меняющемся поле (именно такое поле создаёт электромагнитная волна) молекулы не успевают поляризоваться, что приводит к уменьшению диэлектрической проницаемости. Особенно это касается полярных молекул, таких как вода: диэлектрическая проницаемость воды в постоянном электрическом поле ${\displaystyle \varepsilon =81}$, однако для полей, изменяющихся с частотой 10¹⁴—10¹⁵ Гц (оптический диапазон), она падает до 1,78[48].

Для комплексного показателя преломления, зависящего от энергии ${\displaystyle E}$, реальная и мнимая части показателя преломления являются зависящими друг от друга величинами — они связаны соотношениями Крамерса — Кронига[49]

${\displaystyle n(E)=1+{\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x\kappa (E)}{x^{2}-E^{2}}}dx\,,}$

(Ур. 3.6)

${\displaystyle \kappa (E)=-{\frac {2E}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {n(x)-1}{x^{2}-E^{2}}}dx\,,}$

(Ур. 3.7)

где символ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ обозначает главное значение в смысле Коши[50].

В случае кристаллов и других анизотропных сред диэлектрическая проницаемость зависит от кристаллографического направления и описывается тензором, поэтому показатель преломления является тензорной величиной[51].

Важным соотношением, связывающим показатель преломления с микроскопическими свойствами вещества, является формула Лоренца — Лоренца:

${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {4\pi \alpha N}{3}}\,,}$

(Ур. 3.8)

где ${\displaystyle \alpha }$ — электронная поляризуемость молекул, которая зависит от частоты, а ${\displaystyle N}$ — их концентрация. Если преломляющая среда является смесью нескольких веществ, в правой части уравнения будет стоять несколько слагаемых, каждое из которых соответствует отдельной компоненте[52]. В анализе атмосферы коэффициент преломления принимается равным N = n − 1. Атмосферная рефракция часто выражается как N = 10⁶ (n − 1) или N = 10⁸ (n − 1). Коэффициенты умножения используются потому, что показатель преломления для воздуха, n, отклоняется от единицы не более чем на несколько частей на десять тысяч[53].

С другой стороны, молярная рефракция является мерой общей поляризуемости одного моля вещества и может быть рассчитана на основе показателя преломления как:

${\displaystyle K={\frac {4}{3}}\pi N_{A}\alpha ={\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\cdot {\frac {M}{\rho }}\,,}$

(Ур. 3.9)

где ${\displaystyle M}$ — молекулярная масса, ${\displaystyle N_{A}}$ — постоянная Авогадро, ${\displaystyle \rho }$ — плотность вещества[54]. Она почти не зависит от давления, температуры и даже агрегатного состояния и является характеристикой поляризуемости молекул конкретного вещества[55].

В простом случае газа при небольшом давлении показатель преломления выражается как[56]

${\displaystyle n={\sqrt {1+2\pi N\alpha }}\,.}$

(Ур. 3.10)

Формула Лоренца — Лоренца (ур. 3.8) выведена в предположении изотропности среды, поэтому справедлива для газов, жидкостей, аморфных тел. Однако и для многих других веществ она часто выполняется с хорошей точностью (погрешность не превышает нескольких процентов). Пригодность формулы для конкретного вещества определяется экспериментально. Для некоторых классов веществ, например, пористых материалов, погрешность может достигать десятков процентов[57]. Область применения формулы ограничивается видимым и ультрафиолетовым диапазонами спектра и исключает диапазоны поглощения в веществе. Для низших частот необходимо учитывать не только электронную поляризацию, но и атомную (поскольку ионы в ионных кристаллах и атомы в молекулах успевают сместиться в поле низкой частоты)[52].

Для полярных диэлектриков в случае волн большой длины также необходимо учитывать ориентационную поляризуемость, природа которой заключается в изменении ориентации дипольных молекул вдоль силовых линий поля. Для газов, состоящих из полярных молекул, или сильно разбавленных растворов полярных веществ в неполярных растворителях вместо формулы Лоренца — Лоренца необходимо использовать формулу Ланжевена — Дебая:

${\displaystyle {\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}{\frac {M}{\rho }}={\frac {4\pi N_{A}}{3\varepsilon _{0}}}\left(\alpha _{0}+{\frac {p^{2}}{3k_{B}T}}\right)\,,}$

(Ур. 3.11)

где ${\displaystyle \alpha _{0}}$ — сумма ионной и электронной поляризуемости, ${\displaystyle p}$ — дипольный момент молекул (атомов), ${\displaystyle k_{B}}$ — постоянная Больцмана, ${\displaystyle T}$ — температура[34][58].

Как правило, вещества с большей плотностью имеют более высокий показатель преломления. Для жидкостей показатель преломления обычно больше, чем для газов, а для твёрдых тел — больше, чем для жидкостей[59]. Однако количественная связь между показателем преломления и плотностью может быть разной для разных классов веществ. Существует несколько эмпирических формул, позволяющих оценить эту связь численно[60]. Наиболее известное соотношение следует из формулы Лоренца — Лоренца (ур. 3.9):

${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\cdot {\frac {1}{\rho }}=r\,,}$

(Ур. 3.12)

которое хорошо описывает газы, а также удовлетворительно выполняется в случае изменения агрегатного состояния вещества[60]. Величину ${\displaystyle r}$ иногда называют удельной рефракцией[61].

В случае газов при низком давлении это выражение сводится к ещё более простому, известному как формула Гладстона — Дейла[62]:

${\displaystyle {\frac {n-1}{\rho }}=const\,.}$

(Ур. 3.13)

Миражи образуются в неравномерно нагретом воздухе вследствие изменения показателя преломления в зависимости от плотности

Уменьшение плотности воздуха с высотой (соответственно, уменьшение показателя преломления) вызывает рефракцию света в атмосфере, что приводит к смещению видимого положения небесных светил. Вблизи горизонта такое смещение достигает 30 угловых минут (то есть размера диска Солнца или Луны)[63]. Неоднородный показатель преломления атмосферы может приводить к более раннему восходу Солнца, что наблюдается в северных широтах[64].

Для некоторых немагнитных сред точную оценку можно получить с помощью формулы, полученной Макдональдом:

${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n\cdot \rho }}=const\,.}$

(Ур. 3.14)

Она лучше описывает показатель преломления для воды, бензола и других жидкостей[60].

Также существует зависимость показателя преломления от других связанных с плотностью величин, в частности она уменьшается при увеличении температуры (из-за уменьшения концентрации частиц вследствие термического расширения)[59]. По тем же причинам при увеличении давления показатель преломления возрастает[65].

Связь между показателем преломления и плотностью силикатных и боросиликатных стёкол

Как правило, показатель преломления стекла увеличивается с увеличением его плотности. Однако не существует общей линейной зависимости между показателем преломления и плотностью для всех силикатных и боросиликатных стёкол. Относительно высокий показатель преломления и низкая плотность могут быть получены для стёкол, содержащих оксиды лёгких металлов, таких как Li₂O и MgO, тогда как противоположная тенденция наблюдается для стёкол, содержащих PbO и BaO, как показано на диаграмме справа[66].

Многие масла (например, оливковое масло) и этанол являются примерами жидкостей, которые обладают более высокими коэффициентами преломления, но менее плотны, чем вода, вопреки общей корреляции между плотностью и показателем преломления[67].

Для воздуха ${\displaystyle n-1}$ пропорционально плотности газа до тех пор, пока химический состав не меняется. Это означает, что оно также пропорционально давлению и обратно пропорционально температуре для идеальных газов[68].

В неравномерно нагретом воздухе вследствие изменения показателя преломления траектория лучей света искривляется и наблюдаются миражи. Для «нижнего» миража приповерхностный слой нагрет, поэтому показатель преломления меньше, чем у более холодного воздуха выше. Траектория световых лучей будет искривляться так, что выпуклость траектории обращена вниз и часть голубого неба будет видеться наблюдателю ниже уровня горизонта, что похоже на воду. Для «верхних» миражей выпуклость траектории обращена вверх из-за более плотного и холодного приповерхностного слоя. В этом случае возможно заглянуть за горизонт и увидеть предметы, скрытые от прямого наблюдения[69].

В нефтехимии применяется производный от плотности показатель — рефрактометрическая разница или интерцепт рефракции:

${\displaystyle RI=n-{\frac {\rho }{2}}\,.}$

(Ур. 3.15)

Эта величина одинакова для углеводородов одного гомологического ряда[70].

Цвет мыльного пузыря определяется оптической длиной пути при прохождении света через тонкую мыльную плёнку в явлении, называемом интерференцией тонких плёнок

Оптическая длина пути (OPL) — это произведение геометрической длины ${\displaystyle d}$ пути света, проходящего через систему, и показателя преломления среды, через которую он распространяется[71],

${\displaystyle {\text{OPL}}=nd\,.}$

(Ур. 3.16)

Это понятие определяет фазу света и управляет интерференцией и дифракцией света при его распространении. Согласно принципу Ферма, световые лучи можно охарактеризовать как кривые, оптимизирующие длину оптического пути[72].

Фокусное расстояние линзы определяется её показателем преломления ${\displaystyle n}$ и радиусами кривизны ${\displaystyle R_{1}}$ и ${\displaystyle R_{2}}$ образующих её поверхности. Сила тонкой линзы в воздухе определяется формулой линзы:

${\displaystyle {\frac {1}{f}}=(n-1)\!\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)\,,}$

(Ур. 3.17)

где ${\displaystyle f}$ — фокусное расстояние линзы[73].

Разрешение хорошего оптического микроскопа в основном определяется числовой апертурой (NA) его объектива. Числовая апертура, в свою очередь, определяется показателем преломления ${\displaystyle n}$ среды, заполняющей пространство между образцом и линзой, и половинным углом сбора света ${\displaystyle \theta }$ согласно[74]

${\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta \,.}$

(Ур. 3.18)

По этой причине масляная иммерсия часто используется для получения высокого разрешения в микроскопии. В этом методе объектив погружается в каплю иммерсионного масла, глицерина или воды с высоким показателем преломления для исследования образцов[75].

Волновое сопротивление плоской электромагнитной волны в непроводящей среде (без затухания) определяется выражением

${\displaystyle Z={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}={\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {0} }\mu _{\mathrm {r} }}{\varepsilon _{\mathrm {0} }\varepsilon _{\mathrm {r} }}}}={\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {0} }}{\varepsilon _{\mathrm {0} }}}}{\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {r} }}{\varepsilon _{\mathrm {r} }}}}=Z_{0}{\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {r} }}{\varepsilon _{\mathrm {r} }}}}=Z_{0}{\frac {\mu _{\mathrm {r} }}{n}}\,,}$

(Ур. 3.19)

где ${\displaystyle Z_{0}}$ — волновое сопротивление вакуума, ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \varepsilon }$ — абсолютная магнитная и диэлектрическая проницаемости среды, ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }}$ — относительная диэлектрическая проницаемость материала, а ${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }}$ — его относительная магнитная проницаемость[76].

Для немагнитных сред ${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }=1}$,

${\displaystyle Z={\frac {Z_{0}}{n}}\,,}$

(Ур. 3.20)

${\displaystyle n={\frac {Z_{0}}{Z}}\,.}$

(Ур. 3.21)

Таким образом, показатель преломления в немагнитной среде определяется как отношение волнового сопротивления вакуума к волновому сопротивлению среды. Отражательную способность ${\displaystyle R_{0}}$ границы раздела двух сред, таким образом, можно выразить как через волновые сопротивления, так и через показатели преломления как

${\displaystyle R_{0}=\left|{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right|^{2}\!=\left|{\frac {Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}}}\right|^{2}\,.}$

(Ур. 3.22)

Это выражение совпадает с коэффициентом отражения света при нормальном падении (ур. 1.3)[77].

Электромагнитные волны могут распространяться внутри волноводов. Их дисперсионные соотношения устанавливаются из решения уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями. Если рассматривать волноводы с металлическими стенками, то электрическое поле не проникает в них и волна, распространяющаяся в них, может быть описана как плоская волна вдоль оси волновода, а поперечные колебания электромагнитного поля задаются свойствами такого резонатора. Если предполагать, что поперечное сечение не меняется, то существует ограничение снизу на частоту этих колебаний. Если обозначить соответствующие частоты мод, связанных с поперечными колебаниями, которые представляют собой поперечные стоячие волны, как ${\displaystyle \omega _{\lambda }\,,}$ то фазовая скорость для волны, распространяющейся в волноводе, описывается формулой

${\displaystyle v={\frac {c}{n}}={\frac {c}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}{\frac {1}{\sqrt {1-(\omega _{\lambda }/\omega )^{2}}}}\,.}$

(Ур. 3.23)

Она всегда больше, чем в неограниченном пространстве ${\displaystyle c/{\sqrt {\mu \varepsilon }}}$, и стремится к бесконечности при приближении показателя преломления к нулю[78].

Иногда определяется «показатель преломления групповой скорости», обычно называемый групповым индексом (англ. group index):

${\displaystyle n_{\mathrm {g} }={\frac {\mathrm {c} }{v_{\mathrm {g} }}}\,,}$

(Ур. 3.24)

где v_g — групповая скорость[79]. Это значение не следует путать с показателем преломления n, который всегда определяется относительно фазовой скорости — они совпадают только для сред без дисперсии. Когда дисперсия мала, групповая скорость может быть связана с фазовой скоростью соотношением

${\displaystyle v_{\mathrm {g} }=v-\lambda {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} \lambda }}\,,}$

(Ур. 3.25)

где λ — длина волны в среде[80]. Таким образом, в этом случае групповой показатель может быть записан в терминах зависимости показателя преломления от длины волны как

${\displaystyle n_{\mathrm {g} }={\frac {n}{1+{\frac {\lambda }{n}}{\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \lambda }}}}\,.}$

(Ур. 3.26)

Когда показатель преломления среды известен как функция длины волны в вакууме, соответствующие выражения для групповой скорости и индекса имеют вид (для всех значений дисперсии)

${\displaystyle v_{\mathrm {g} }=\mathrm {c} \,\left(n-\lambda _{0}{\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \lambda _{0}}}\right)^{-1},}$

(Ур. 3.27)

${\displaystyle n_{\mathrm {g} }=n-\lambda _{0}{\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \lambda _{0}}}\,,}$

(Ур. 3.28)

где λ₀ — длина волны в вакууме[81].

Значение показателя преломления воздуха, одобренное Joint Commission for Spectroscopy в Риме в сентябре 1952 года, записывается следующим образом:

${\displaystyle n_{\text{air}}(15^{\circ }{\rm {C}},p_{0})=1+10^{-8}\left(6432.8+{\frac {2949810\;{\rm {\text{мкм}}}^{-2}\lambda ^{2}}{146\;{\rm {\text{мкм}}}^{-2}\lambda ^{2}-1}}+{\frac {25540\;{\rm {\text{мкм}}}^{-2}\lambda ^{2}}{41\;{\rm {\text{мкм}}}^{-2}\lambda ^{2}-1}}\right)\,.}$

(Ур. 4.4)

Эта формула справедлива для длин волн от 0,2 мкм до 1,35 мкм (видимого и инфракрасного диапазонов) и сухого воздуха, содержащего 0,03 % углекислого газа по объёму, при 15 °C и давлении 101,325 кПа[89].

Свойства воздуха в зависимости от высоты сильно меняются, что сказывается на точности действия систем глобального позиционирования. В частности, для микроволн и радиоволн очень важен состав воздуха, поскольку наличие водяного пара в тропосфере замедляет сигналы радаров из-за изменения показателя преломления воздуха, что приводит к ошибкам в позиционировании. На большой высоте в ионосфере дисперсию волн обуславливают свободные электроны. На показатель преломления воздуха также влияют температура и давление. В простейшем виде время задержки для сигнала радара определяется из уравнения ${\displaystyle t=2rn/c\,,}$ где ${\displaystyle r}$ — расстояние до цели, ${\displaystyle n}$ — показатель преломления среды, ${\displaystyle c}$ — скорость света. В реальных измерениях используют разницу времени между отражениями от различных предметов и вычисляют разницу фаз ${\displaystyle \Delta \phi }$, которая связана с изменением индекса по формуле ${\displaystyle \Delta \phi =2\pi f\Delta t=4\pi fr\Delta n/c\,,}$ где ${\displaystyle f}$ — частота радара. На дистанциях между 20 и 40 км этот метод хорошо работает. Изменение показателя преломления в реальной атмосфере составляет около 0,03 %, но если расстояние известно, то можно с высокой точностью (~1 %) определять изменение показателя преломления при знании соответствующей модели атмосферы[92].

В метеорологии и радарных исследованиях используют другое определение изменения индекса ${\displaystyle \Delta n}$, для данной частоты. Оно выражается через величину ${\displaystyle N=(n-1)\times 10^{6}}$, которая соответствует порядку изменения коэффициента преломления ${\displaystyle n}$ между вакуумом и воздухом у земной поверхности[92].

${\displaystyle N}$ связано с параметрами окружающей среды по следующей экспериментально установленной формуле:

${\displaystyle N=77{,}5{\frac {P}{T}}-12{,}5{\frac {e}{T}}+3{,}7\times 10^{5}{\frac {e}{T^{2}}}\,,}$

(Ур. 4.5)

где ${\displaystyle P}$ — давление в гПа, ${\displaystyle T}$ — температура в кельвинах, ${\displaystyle e}$ — парциальное давление водяного пара, содержащегося в воздухе, в гПа[92][93][94]. Первый член применяется во всей толще атмосферы, связан с дипольным моментом из-за поляризации нейтральных молекул и описывает сухую атмосферу. Второй и третий члены важны в тропосфере, относятся к постоянному дипольному моменту воды и важны только в нижней тропосфере[95]. Первое слагаемое преобладает при низких температурах, где давление паров водяного пара низкое. Следовательно, можно измерить изменение ${\displaystyle N}$, если известны ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle T}$, и наоборот. Эта формула широко используется при расчёте влияния водяного пара на распространение волн в атмосфере. Диапазон частот, где применима эта формула, ограничивается микроволновой областью (1 ГГц — 300 ГГц), поскольку для более высоких частот существует вклад вращательных резонансов молекул кислорода и воды[94].

В ионосфере, однако, вклад электронной плазмы в коэффициент преломления существенен, а водяного пара — отсутствует, поэтому используют другую форму уравнения для показателя преломления:

${\displaystyle N=77{,}6{\frac {P}{T}}+3{,}73\times 10^{5}{\frac {e}{T^{2}}}-40{,}3\times 10^{6}{\frac {n_{e}}{f^{2}}}\,,}$

(Ур. 4.6)

где ${\displaystyle n_{e}}$ — концентрация электронов, ${\displaystyle f}$ — частота радара. Вклад плазменной частоты (последнее слагаемое) важен на высотах более 50 км[95].

Вклад холодной плазмы в ионосфере может изменить знак показателя преломления на больших высотах в микроволновом диапазоне. В общем случае ионосфера демонстрирует двулучепреломление[96].

Радарные технологии используются в метеорологии для определения количества капель и их распределения над территорией США и Западной Европы, поскольку эти территории практически полностью покрыты сетью радаров. Мощность отражённого сигнала пропорциональна радиолокационной отражаемости водяных капель и величине, зависящей от комплексного показателя преломления, ${\displaystyle |(n^{2}(\lambda )-1)/(n^{2}(\lambda )+1)|^{2}}$[97].

На основе закона Снеллиуса строятся количественные методы рефрактометрии растворов. Среди растворителей наиболее часто используются вода с показателем преломления 1,3330, метанол — 1,3286, этанол — 1,3613, ацетон — 1,3591, хлороформ — 1,4456. Эти величины измерены на длине волны D-линии натрия (589,3 нм) при 20 °С и обозначаются ${\displaystyle n_{D}^{20}}$[102]. Сравнивая индекс раствора ${\displaystyle n}$ с индексом растворителя ${\displaystyle n_{0}}$, можно получить концентрацию раствора в процентах

${\displaystyle C={\frac {n-n_{0}}{F}}\,,}$

(Ур. 5.3)

где ${\displaystyle F}$ — параметр, показывающий прирост показателя преломления на один процент для растворённого вещества. Формулы расчёта несколько сложнее в случае нескольких растворённых веществ[103].

Океанская вода представляет собой сложную смесь мутного раствора, солей и органических останков[104]. В диэлектрическую проницаемость дают вклад три источника, связанные с электронной, дипольно-релаксационной и ионной восприимчивостями. Магнитная проницаемость воды меньше единицы (диамагнетик)[105]. Солёность мирового океана зависит в основном от количества хлористого натрия[106]. Показатель преломления морской воды в видимой части спектра зависит в основном от трёх параметров: температуры, солёности и гидростатического давления. В простейшей модели для показателя преломления используют формулу Лоренца — Лоренца. Удельная рефракция уменьшается с ростом длины волны, солёности и температуры. При длине волны 480 нм, температуре 20 °C, атмосферном давлении и солёности 35 ‰ ${\displaystyle n=1{,}34509}$ (для чистой воды ${\displaystyle n=1{,}337}$)[107]. Коэффициент преломления морской воды измеряют методами рефрактометрии[108].

Распространение света в кристалле зависит от направления оптических осей. Для кристаллов диэлектрическая проницаемость имеет вид тензора второго ранга, и при действии электрического поля световой волны смещение электрических зарядов в общем случае не совпадает с направлением электрического поля. Вектора электрической индукции D и электрического поля E не совпадают ни по направлению, ни по величине[112]. Есть, однако, возможность выбора прямоугольной системы координат, в которой оси координат направлены вдоль оптических осей. В этой системе координат записывается уравнение для характеристической поверхности, называемой эллипсоидом Френеля[113]

${\displaystyle n_{x}^{2}x^{2}+n_{y}^{2}y^{2}+n_{z}^{2}z^{2}=const\,.}$

(Ур. 7.1)

Здесь индексы у коэффициента преломления отвечают за величину коэффициента преломления в определённом направлении в кристалле, то есть указывают на анизотропию скорости света. Если электрическое поле E направлено по одной из оптических осей, то индукция D имеет то же направление. Скорости распространения света в этих направлениях равны

${\displaystyle v_{x}={\frac {c}{n_{x}}}\,,\qquad v_{y}={\frac {c}{n_{y}}}\,,\qquad v_{z}={\frac {c}{n_{z}}}\,.}$

(Ур. 7.2)

Эллипсоид Френеля имеет смысл поверхности постоянной фазы для излучения точечного источника[114]. Существуют как минимум два круговых сечения для эллипсоида Френеля, перпендикулярные направления к которым называются оптическими осями кристалла. Для одноосного кристалла ${\displaystyle n_{x}=n_{y}\neq n_{z}}$[113].

Иллюстрация нахождения направления распространения обыкновенной и необыкновенной волн в одноосном кристалле

Кристалл кальцита расположен на бумаге с несколькими буквами для демонстрации двойного лучепреломления

Двулучепреломляющие материалы могут изменять цвет при помещении между скрещёнными поляризаторами. Это основа такого метода исследований как фотоупругость

В материалах, где показатель преломления зависит от поляризации и направления в кристалле, наблюдается явление двойного лучепреломления, которое также называют оптической анизотропией в общем случае[115].

В простейшем случае, одноосном двулучепреломлении, материал имеет только одно особое направление — оптическую ось материала[116]. Распространение света с линейной поляризацией, перпендикулярной этой оси, описывается с помощью показателя преломления для обыкновенной волны ${\displaystyle n_{o}}$, в то время как распространение света с параллельной поляризацией описывается с помощью показателя преломления для необыкновенной волны ${\displaystyle n_{e}}$[117]. Двулучепреломление материала возникает из-за разности между этими показателями преломления ${\displaystyle \Delta n=n_{e}-n_{o}}$[118]. Свет, распространяющийся в направлении оптической оси, не будет испытывать двойного лучепреломления, поскольку показатель преломления ${\displaystyle n_{o}}$ не будет зависеть от поляризации. Для других направлений распространения свет разделяется на два линейно поляризованных луча. Для света, движущегося перпендикулярно оптической оси, лучи будут распространяться в одном и том же направлении[119]. Это можно использовать для изменения направления поляризации линейно поляризованного света или для преобразования линейной, круговой и эллиптической поляризации при работе с волновыми пластинами[118].

Многие кристаллы обладают естественным двойным лучепреломлением, но изотропные материалы, такие как пластмассы и стекло, также могут часто обладать двойным лучепреломлением вследствие возникновения предпочтительного направления, например, при действии внешней силы или электрического поля. Этот эффект называется фотоупругостью и может использоваться для выявления напряжений в конструкциях. Для этого двулучепреломляющий материал помещается между скрещёнными поляризаторами. Напряжения в кристалле приводят к возникновению эффекта двойного лучепреломления и свет, проходящий через кристалл, изменяет поляризацию и, следовательно, долю света, которая проходит через второй поляризатор[120]. Разность между показателями преломления для обыкновенной и необыкновенной волн пропорциональна давлению P

${\displaystyle n_{o}-n_{e}=\kappa P\,,}$

(Ур. 7.3)

где ${\displaystyle \kappa }$ — постоянная, характеризующая вещество[121].

Некоторые данные для широко используемых одноосных кристаллов приведены в таблице[122].

Показатели преломления некоторых одноосных кристаллов для длины волны 589,3 нм[122]

Кристалл	Химическая формула	Сингония	Знак ${\displaystyle n_{e}-n_{o}}$	${\displaystyle n_{o}}$	${\displaystyle n_{e}}$
Лёд	H2O	Тригональная	+	1,309	1,313
Кварц	SiO2	Тригональная	+	1,544	1,553
Берил	Be3Al2(SiO3)6	Гексагональная	-	1,581	1,575
Нитрат натрия	NaNO3	Тригональная	-	1,584	1,336
Кальцит	CaCO3	Тригональная	-	1,658	1,486
Турмалин	Сложный силикат	Тригональная	-	1,669	1,638
Сапфир	Al2O3	Тригональная	-	1,768	1,760
Циркон	ZrSiO4	Тетрагональная	+	1,923	1,968
Рутил	TiO2	Тетрагональная	+	2,616	2,903

Более общий случай трипреломляющих материалов описывается кристаллооптикой, а диэлектрическая проницаемость является тензором второго ранга (матрица 3 на 3). В этом случае распространение света невозможно просто описать показателями преломления, за исключением поляризаций вдоль главных осей. Кристаллы с орторомбической, моноклинной и триклинной сингонией принадлежат к этому классу материалов. Слюды являются типичными представителями трипреломляющих кристаллов[123].

Двулучепреломление возникает при приложении постоянного или переменного электрического поля к изотропной среде. Впервые этот эффект наблюдался Керром (в 1875 году) для диэлектрических жидкостей, но встречается в твёрдых телах и в гораздо более простых системах: он наблюдался в газах в 1930 году[124], что позволило объяснить происхождение эффекта[125]. При приложении сильного электрического поля к жидкости она становится аналогом одноосного кристалла с оптической осью, совпадающей с направлением электрического поля[124]. Разность между показателями преломления для необыкновенной и обыкновенной волн не зависит от ориентации электрического поля ${\displaystyle E}$, поскольку она пропорциональна его квадрату:

${\displaystyle n_{e}-n_{o}=\kappa E^{2}\,,}$

(Ур. 7.4)

где ${\displaystyle \kappa }$ — постоянная для среды. Эта величина обычно положительна для многих жидкостей, но может принимать отрицательные значения для этилового эфира, многих масел и спиртов. Если выразить сдвиг фаз через длину волны, то ${\displaystyle \phi =2\pi BlE^{2}\,,}$ где ${\displaystyle l}$ — толщина образца, ${\displaystyle B=\kappa /\lambda }$ — постоянная Керра[126]. Постоянная Керра принимает очень малые значения: на длине волны 546,0 нм для газов порядка 10⁻¹⁵ В/м² и для жидкостей порядка 10⁻¹² В/м²[127].

По аналогии с эффектом Керра можно наблюдать двулучепреломление в изотропных средах в сильном магнитном поле[128]. При распространении света перпендикулярно этому полю разность показателей преломления оказывается пропорциональной квадрату напряжённости магнитного поля H:

${\displaystyle n_{e}-n_{o}=BH^{2}\,,}$

(Ур. 7.5)

где ${\displaystyle B}$ — постоянная для среды. Если выразить разность хода лучей через длину волны, то ${\displaystyle \Delta _{\lambda }=l(n_{e}-n_{o})/\lambda =ClH^{2}\,,}$ где ${\displaystyle l}$ — толщина образца, ${\displaystyle C=B/\lambda }$ — постоянная Коттона — Мутона[128].

Линза с градиентным показателем преломления, который по параболическому закону зависит от радиального расстояния (x). Объектив фокусирует свет так же, как и обычный объектив

Если показатель преломления среды не постоянен, а постепенно изменяется в пространстве, такой материал известен как среда с градиентным показателем, или GRIN-среда, и рассматривается в градиентной оптике[129]. Свет, проходящий через такую среду, преломляется или фокусируется, что можно использовать для создания линз, оптических волокон и других устройств. Внедрение GRIN-элементов в конструкцию оптической системы может значительно упростить систему, уменьшив количество элементов на треть при сохранении общей производительности[130]. Хрусталик человеческого глаза является примером GRIN-линзы с показателем преломления, изменяющимся от примерно 1,406 во внутреннем ядре до примерно 1,386 в менее плотной коре[131].

Изображение дрожжевых клеток при дифференциальной интерференционной контрастной микроскопии

Неокрашенные биологические структуры в основном кажутся прозрачными при микроскопии в светлом поле, поскольку большинство клеточных структур не приводят к заметному ослаблению света[132]. Тем не менее изменение материалов, из которых состоят эти структуры, также сопровождается изменением показателя преломления. Следующие методы преобразуют такие вариации в измеримые разности амплитуд: фазово-контрастная микроскопия[133], фазово-контрастная рентгеновская визуализация, количественная фазово-контрастная микроскопия[134].

Для измерения пространственного изменения показателя преломления в образце используются методы фазово-контрастной визуализации. Эти методы позволяют детектировать изменения фазы световой волны, выходящей из образца. Фаза пропорциональна оптической длине пути, пройденной световым лучом, и, таким образом, даёт меру интеграла от показателя преломления вдоль пути луча[135]. Фазу нельзя измерить непосредственно на оптических или более высоких частотах, поэтому её необходимо преобразовать в интенсивность путём интерференции с опорным лучом. В видимом диапазоне спектра это делается с помощью фазово-контрастной микроскопии Цернике, дифференциальной интерференционно-контрастной микроскопии (ДИК) или интерферометрии[136].

Фазово-контрастная микроскопия Цернике добавляет фазовый сдвиг в низкочастотные пространственные компоненты изображения с помощью фазовращательного кольца в плоскости Фурье образца, так что высокочастотные части пространственного изображения могут интерферировать с низкочастотными компонентами опорного луча[137]. В ДИК освещение разделяется на два луча, которые имеют разную поляризацию, по-разному сдвинуты по фазе и смещены в поперечном направлении относительно друг друга. После прохождения образца два пучка интерферируют, давая изображение производной оптической длины пути по разнице поперечного смещения[133]. В интерферометрии освещение разделяется на два луча частично отражающим зеркалом. Один из лучей пропускается через образец, а затем они объединяются для интерференции и создания прямого изображения фазовых сдвигов. Если вариации оптической длины пути превышают длину волны, изображение будет содержать полосы[138][139][140].

Существует несколько методов фазово-контрастной рентгеновской визуализации для определения двумерного или трёхмерного пространственного распределения показателя преломления образцов в рентгеновском спектре[141].

Электромагнитные волны являются решениями уравнений Максвелла, из которых можно получить волновое уравнение. Для пространства, заполненного веществом с неоднородным показателем преломления, решение во всём пространстве в виде плоских волн больше не существует, но, используя приближение геометрической оптики (коротковолновое приближение), можно получить приближённое решение уравнений Максвелла. Пусть электрическое поле представлено в виде плоской волны в малой области пространства как

${\displaystyle {\textbf {E}}({\textbf {r}},t)={\textbf {E}}_{0}({\textbf {r}})\exp(-ik_{0}S({\textbf {r}})+i\omega t)\,,}$

(Ур. 7.6)

где E₀(r) — медленно меняющаяся функция радиус-вектора r, S(r) — неизвестная функция координат[142]. Подставляя в уравнения Максвелла это выражение при условии, что волновое число k₀ стремится к бесконечности, можно найти уравнение для неизвестной функции

${\displaystyle (\nabla S)^{2}=n^{2}({\textbf {r}})\,,}$

(Ур. 7.7)

где ${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла. Функция S(r) называется эйконалом[143]. Это равенство впервые получил Брунс в 1895 году и имеет вид уравнения Гамильтона — Якоби, известного из механики. Это уравнение описывает траекторию лучей в геометрической оптике в соответствии с принципом Ферма. Он гласит, что свет распространяется по пути, на прохождение которого ему надо затратить экстремальное время. В интегральном виде этот принцип записывает как

${\displaystyle t=\int _{\Gamma }{\frac {dl}{v}}=\int _{\Gamma }{\frac {n({\textbf {r}})dl}{c}}={\frac {L}{c}}\,,}$

(Ур. 7.8)

где Γ — траектория луча, v — фазовая скорость луча, L — оптическая длина пути[144].

Известно, что показатель преломления может изменяться в электрическом поле — это эффект Керра в жидкостях и газах или эффект Поккельса в кристаллах. Поскольку сама электромагнитная волна также несёт переменное электрическое поле, возникает зависимость показателя преломления от интенсивности света. Зависимость имеет вид ${\displaystyle n=n_{0}+n_{2}\cdot I}$, где ${\displaystyle I}$ — интенсивность падающей волны, ${\displaystyle n_{2}}$ — нелинейный индекс рефракции, который имеет значение 10⁻¹⁴ — 10⁻¹⁶ см²/Вт[145], поэтому эффект становится заметным только при высокой интенсивности света и экспериментально наблюдался только после появления лазера. Нелинейность показателя преломления возникает в результате взаимодействия света со средой, в результате которого в среде возникает локальная поляризация, отклоняющаяся от линейной зависимости от поля при высокой его интенсивности. В результате возникает отмеченная выше зависимость показателя преломления от интенсивности волны[146].