Формула Зельмейера

Формула Зельмейера (уравнение Селлмейера) — это эмпирическая формула описывающая зависимость между показателем преломления и длиной волны для конкретной прозрачной среды. Уравнение используется для определения дисперсии света в этой среде.

Впервые оно было предложено в 1872 году Вильгельмом Селлмейером и являлось развитием работы Огюстена Коши по уравнению Коши для моделирования дисперсии[1].

Уравнение

В своём первоначальном и наиболее общем виде уравнение Селлмейера имеет вид

,

где n — показатель преломления, λ — длина волны, а Bi и Ci — экспериментально определяемые коэффициенты Селлмейера. Эти коэффициенты обычно указываются для λ в микрометрах в квадрате. Обратите внимание, что λ — это длина волны света в вакууме, а не длина волны в самом материале, которая равна λ/n. Для некоторых типов материалов, например кристаллов, иногда используется другая форма уравнения.

Каждый член суммы представляет собой резонанс поглощения с силой Bi на длине волны (Ci)1/2. Например, коэффициенты для BK7 ниже соответствуют двум резонансам поглощения в ультрафиолетовой области и одному в средней инфракрасной области. Вблизи каждого пика поглощения уравнение даёт нефизические значения n2 = ± ∞, и в этих диапазонах длин волн необходимо использовать более точную модель дисперсии, такую как модель Гельмгольца.

Если все коэффициенты известны для материала, на длинных волнах вдали от пиков поглощения значение n стремится к

где ε r — относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Для описания стёкол обычно используется уравнение, состоящее из трёх членов[2][3]:

В качестве примера ниже показаны коэффициенты для обычного боросиликатного стекла для крона, известного как BK7:

Коэффициент Значение
В 1 1.03961212
В 2 0,231792344
В 3 1.01046945
C 1 6.00069867 × 10 − 3 мкм 2
C 2 2.00179144 × 10 − 2 мкм 2
C 3 1.03560653 × 10 2 мкм 2

Коэффициенты Селлмейера для многих распространённых оптических материалов можно найти в онлайн-базе данных RefractiveIndex.info.

Для обычных оптических очков показатель преломления, рассчитанный с помощью трёхчленного уравнения Селлмейера, отклоняется от фактического показателя преломления менее чем на 5 × 10−6 в диапазоне длин волн[4] от 365 нм до 2,3 мкм, что по порядку величины соответствует однородности стекла[5]. Иногда добавляются дополнительные условия, чтобы сделать расчёт ещё более точным.

Иногда уравнение Селлмейера используется в двучленной форме[6]:

Здесь коэффициент A является приближением вкладов коротковолнового (например, ультрафиолетового) поглощения в показатель преломления на более длинных волнах. Существуют и другие варианты уравнения Селлмейера, которые могут учитывать изменение показателя преломления материала из-за температуры, давления и других параметров.

Коэффициенты
Таблица коэффициентов уравнения Селлмейера[7]
Материал В1 В2 В3 C1, мкм 2 C2, мкм 2 C3, мкм 2
боросиликатное Крон (стекло) (известный как BK7) 1.03961212 0,231792344 1.01046945 6.00069867 × 10 − 3 2,00179144 × 10 − 2 103,560653
сапфир (для обыкновенной волны) 1,43134930 0,65054713 5,3414021 5,2799261 × 10 − 3 1,42382647 × 10 − 2 325.017834
сапфир (для необыкновенной волны) 1,5039759 0,55069141 6,5927379 5,48041129 × 10 − 3 1,47994281 × 10 − 2 402,89514
плавленый кварц 0,696166300 0,407942600 0,897479400 4,67914826 × 10 − 3 1,35120631 × 10 − 2 97.9340025
Фторид магния 0,48755108 0,39875031 2,3120353 0,001882178 0,008951888 566.13559

Примечания
  1. Sellmeier, W. (1872). “Ueber die durch die Aetherschwingungen erregten Mitschwingungen der Körpertheilchen und deren Rückwirkung auf die ersteren, besonders zur Erklärung der Dispersion und ihrer Anomalien (II. Theil)”. Annalen der Physik und Chemie. 223 (11): 386—403. DOI:10.1002/andp.18722231105.
  2. Refractive index and dispersion. Schott technical information document TIE-29 (2007).
  3. Paschotta. Encyclopedia of Laser Physics and Technology - Sellmeier formula, refractive index, Sellmeier equation, dispersion formula (англ.). www.rp-photonics.com. Дата обращения: 14 сентября 2018.
  4. Optical Properties.
  5. Guarantee of Quality.
  6. Ghosh, Gorachand (1997). “Sellmeier Coefficients and Dispersion of Thermo-Optic coefficients for some optical glasses”. Applied Optics. 36 (7): 1540—6. Bibcode:1997ApOpt..36.1540G. DOI:10.1364/AO.36.001540. PMID 18250832.
  7. Archived copy. Дата обращения: 16 января 2015. Архивировано 11 октября 2015 года.

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.