Диэлектрическая проницаемость

Применительно к диэлектрической среде без потерь справедливы соотношения:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon _{0}(1+\chi )\mathbf {E} =\varepsilon _{0}\varepsilon \mathbf {E} .}$

В большинстве случаев ${\displaystyle \chi }$ и, соответственно, ${\displaystyle \varepsilon }$ — это просто безразмерные константы конкретного материала. В вакууме ${\displaystyle \chi }$ равно нулю.

Особая ситуация возникает для нелинейных сред, когда ${\displaystyle \varepsilon }$ зависит от величины поля ${\displaystyle E}$; такое возможно в сравнительно сильных полях. В сегнетоэлектриках возможно появление спонтанной поляризации, а именно сохранение поляризации ${\displaystyle \mathbf {P} \neq 0}$ после снятия ранее наложенного внешнего поля.

Распределение электрического поля в пространстве с различными диэлектриками находится из численного решения уравнения Максвелла:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {D(r)} =\rho (\mathbf {r} ),}$

или уравнения Пуассона для электрического потенциала ${\displaystyle \varphi$ :}

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon (\mathbf {r} ){\boldsymbol {\nabla }}\varphi (\mathbf {r} )\right)=-\varepsilon _{0}^{-1}\rho (\mathbf {r} ),}$

где ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$ обозначает плотность свободных зарядов.

На незаряженной границе двух диэлектрических сред отношение нормальных компонент напряжённости поля ${\displaystyle E_{n}}$ с обеих сторон равно обратному отношению значений проницаемости сред.

В случае однородного диэлектрика его наличие приводит к снижению электрического поля ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )}$ в ${\displaystyle \varepsilon }$ раз, по сравнению со случаем вакуума при том же распределении свободных зарядов. Помимо закона Кулона, практически важным примером является конденсатор любой геометрии, заряд (но не разность потенциалов) обкладок которого фиксирован.

Диэлектрическая проницаемость, совместно с магнитной, определяют фазовую скорость распространения электромагнитной волны в рассматриваемой среде, а именно:

${\displaystyle \varepsilon _{0}\varepsilon (\omega )\mu _{0}\mu (\omega )=v_{ph}^{-2}.}$

Показатель преломления диэлектрика без потерь можно выразить как квадратный корень из произведения его магнитной и диэлектрической проницаемостей:

${\displaystyle n(\omega )={\sqrt {\mu (\omega )\cdot \varepsilon (\omega )}}.}$

Для немагнитных сред ${\displaystyle \mu =1.}$ Значения ${\displaystyle \varepsilon }$ для существенного в конкретном контексте оптического диапазона могут очень сильно отличаться от статических значений: как правило, ${\displaystyle \varepsilon }$ намного ниже, чем для статического поля.

Однако, если рассматривать оптический диапазон частот сам по себе, то в нём с ростом ${\displaystyle \omega }$ величина ${\displaystyle \varepsilon }$ (а значит, и ${\displaystyle n}$) чаще всего возрастает. Такое поведение показателя преломления («синий свет преломляется сильнее красного») является случаем так называемой нормальной дисперсии. Противоположную ситуацию аномальную дисперсию можно наблюдать вблизи полос поглощения, но такой случай не может рассматриваться как случай без диссипативных потерь.

Диэлектрическая проницаемость связывает электрическую индукцию ${\displaystyle \mathbf {D} }$ и напряжённость электрического поля ${\displaystyle \mathbf {E} .}$

В электрически анизотропных средах компонента вектора напряжённости ${\displaystyle E_{i}}$ может не только влиять на ту же самую компоненту вектора электрической индукции ${\displaystyle D_{i},}$ но и порождать другие его компоненты ${\displaystyle D_{j}(j\neq i).}$

В общем случае проницаемость является тензором, определяемым из следующего соотношения (в записи использовано соглашение Эйнштейна):

${\displaystyle D_{i}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{ij}E_{j},}$

или, иначе:

${\displaystyle \mathbf {D} ={\boldsymbol {\varepsilon }}_{a}\mathbf {E} ,}$

где жирный шрифт использован для векторных и тензорных величин, а

${\displaystyle \mathbf {E} =E_{1}\mathbf {e} _{1}+E_{2}\mathbf {e} _{2}+E_{3}\mathbf {e} _{3}}$ — вектор напряжённости электрического поля,

${\displaystyle \mathbf {D} =D_{1}\mathbf {e} _{1}+D_{2}\mathbf {e} _{2}+D_{3}\mathbf {e} _{3}}$ — вектор электрической индукции,

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{a}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{ij}}$ — тензор абсолютной диэлектрической проницаемости.

В изотропном случае любая компонента вектора напряженности ${\displaystyle E_{i}}$ влияет только на ${\displaystyle D_{i},}$ при этом ${\displaystyle \varepsilon _{ij}=~\delta _{ij}\varepsilon ,}$ где ${\displaystyle \delta _{ij}-}$ символ Кронекера, поэтому уравнения Максвелла могут быть записаны с использованием скалярной диэлектрической проницаемости (${\displaystyle \varepsilon -}$ просто коэффициент в уравнении).

Значение ${\displaystyle \varepsilon }$ вакуума равно единице, для реальных сред в статическом поле ${\displaystyle \varepsilon >1.}$ Для воздуха и большинства других газов в нормальных условиях значение ${\displaystyle \varepsilon }$ близко к единице в силу их низкой плотности. В статическом электрическом поле для большинства твёрдых или жидких диэлектриков значение ${\displaystyle \varepsilon }$ лежит в интервале от 2 до 8, для жидкой воды значение ${\displaystyle \varepsilon }$ достаточно высокое, 88 при ${\displaystyle 0^{\circ }.}$ А у твердого льда ${\displaystyle \varepsilon }$ больше и составляет 97 при ${\displaystyle 0^{\circ }.}$ Это объясняется тем, что переход атома Н от одного атома кислорода к другому атому вызывает перестройку ковалентных и водородных связей у обоих этих атомов кислорода и в их в окрестности. В результате вся структура ковалентных и водородных связей во льду сильно флуктуирует, и это приводит к аномально высокой поляризуемости льда, превосходя диэлектрическую проницаемость жидкой воды[3].

Значение ${\displaystyle \varepsilon }$ велико для веществ с молекулами, обладающими большим электрическим дипольным моментом. Значение ${\displaystyle \varepsilon }$ сегнетоэлектриков составляет десятки и сотни тысяч.

Статическая диэлектрическая проницаемость материалов (таблица)
Вещество	Химическая формула	Условия измерения	Характерное значение εr
Вакуум	-	-	1
Воздух	-	Нормальные условия, 0,9 МГц	1,00058986 ± 0,00000050
Углекислый газ	${\displaystyle {\ce {CO2}}}$	Нормальные условия	1,0009
Тефлон (политетрафторэтилен, фторопласт)	${\displaystyle {\ce {[{-CF2-CF2-}]_n}}}$	-	2,1
Нейлон	-	-	3,2
Полиэтилен	${\displaystyle {\ce {[{-CH2-CH2-}]_n}}}$	-	2,25
Полистирол	${\displaystyle {\ce {[{-CH2-{(C6H5)}H-}]_{n}}}}$	-	2,4-2,7
Каучук	-	-	2,4
Битум	-	-	2,5-3,0
Сероуглерод	${\displaystyle {\ce {CS2}}}$	-	2,6
Парафин	${\displaystyle {\ce {C18H38-C35H72}}}$	-	2,0-3,0
Бумага	-	-	2,0-3,5
Электроактивные полимеры	−	−	2-12
Эбонит	${\displaystyle {\ce {(C6H9S)_2}}}$	−	2,5-3,0
Плексиглас (оргстекло)	-	-	3,5
Кварц	${\displaystyle {\ce {SiO2}}}$	-	3,5-4,5
Диоксид кремния	${\displaystyle {\ce {SiO2}}}$	−	3,9
Бакелит	-	-	4,5
Бетон	−	−	4,5
Фарфор	−	−	4,5-4,7
Стекло	−	−	4,7 (3,7-10)
Стеклотекстолит FR-4	-	-	4,5-5,2
Гетинакс	-	-	5-6
Слюда	-	-	7,5
Резина	−	−	7
Поликор	98 % ${\displaystyle {\ce {Al2O3}}}$	-	9,7
Алмаз	${\displaystyle {\ce {C}}}$	Нормальные условия	5,5-10
Поваренная соль	${\displaystyle {\ce {NaCl}}}$	−	3-15
Графит	${\displaystyle {\ce {C}}}$	−	10-15
Керамика	−	−	10-20
Кремний	${\displaystyle {\ce {Si}}}$	−	11.68
Бор	${\displaystyle {\ce {B}}}$	−	2.01
Аммиак	${\displaystyle {\ce {NH3}}}$	20 °C	17
		0 °C	20
		−40 °C	22
		−80 °C	26
Спирт этиловый	${\displaystyle {\ce {C2H5OH}}}$ или ${\displaystyle {\ce {CH3-CH2-OH}}}$	−	27
Метанол	${\displaystyle {\ce {CH3OH}}}$	−	30
Этиленгликоль	${\displaystyle {\ce {HO-CH2-CH2-OH}}}$	−	37
Фурфурол	${\displaystyle {\ce {C5H4O2}}}$	−	42
Глицерин	${\displaystyle {\ce {HOCH2(OH)-CH2OH}}}$ или ${\displaystyle {\ce {C3H5(OH)_3}}}$	0 °C	41,2
		20 °C	47
		25 °C	42,5
Вода	${\displaystyle {\ce {H2O}}}$	200 °C	34,5
		100 °C	55,3
		20 °C	81
		0 °C	88
Плавиковая кислота	${\displaystyle {\ce {HF}}}$	0 °C	83,6
Формамид	${\displaystyle {\ce {HCONH2}}}$	20 °C	84
Серная кислота	${\displaystyle {\ce {H2SO4}}}$	20-25 °C	84-100
Пероксид водорода	${\displaystyle {\ce {H2O2}}}$	−30 °C — +25 °C	128
Синильная кислота	${\displaystyle {\ce {HCN}}}$	(0-21 °C)	158
Диоксид титана	${\displaystyle {\ce {TiO2}}}$	-	86-173
Титанат кальция	${\displaystyle {\ce {CaTiO3}}}$	-	170
Титанат стронция	${\displaystyle {\ce {SrTiO3}}}$	-	310
Титанат бария-стронция	${\displaystyle {\ce {(Ba_{1-x}Sr_x)TiO3}}}$, ${\displaystyle 0<x<1}$	-	500
Титанат бария	${\displaystyle {\ce {BaTiO3}}}$	(20-120 °C)	1250-10000
Цирконат-титанат свинца	${\displaystyle {\ce {(Pb[Zr_xTi_{1-x}]O3)}}}$, ${\displaystyle 0<x<1}$)		500-6000
Сополимеры	-	-	до 100000
Сульфид кадмия	${\displaystyle {\ce {CdS}}}$		9,3

Большой диэлектрической проницаемостью обладают некоторые сложные вещества: CCTO-керамика и LSNO-керамика (${\displaystyle \varepsilon }$ около 10² и 10⁶ соответственно)[4].

Кроме того, исследуются и метаматериалы. Например диэлектрическая проницаемость порядка 10⁷—10⁸ была обнаружена у металлических наноостровковых структур на диэлектрических подложках[5][6].

В электронике диэлектрическая проницаемость изоляционных материалов является одним из основных параметров для электрических конденсаторов. Применение материала с высокой диэлектрической проницаемостью позволяет существенно сократить габаритные размеры конденсатора. Например, ёмкость плоского конденсатора:

${\displaystyle C=\varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {S}{d}},}$

где ${\displaystyle \varepsilon }$ — относительная диэлектрическая проницаемость материала между обкладками,

${\displaystyle S}$ — площадь обкладок конденсатора,

${\displaystyle d}$ — расстояние между обкладками.

Таким образом, требуемая площадь ${\displaystyle S}$ обкладок обратно пропорциональна ${\displaystyle \varepsilon .}$ Значение диэлектрической проницаемости материала основания учитывается при разработке печатных плат, поскольку оно влияет на значение статической ёмкости проводящего рисунка слоёв питания и волновое сопротивление проводников (линий передачи сигналов) на плате.

Помимо обозначения ${\displaystyle \varepsilon ,}$ ранее для относительной диэлектрической проницаемости иногда применялось обозначение ${\displaystyle \kappa ,}$ которое при отсутствии греческих шрифтов заменяли на ${\displaystyle k}$. Это обозначение ныне почти не используется и сохранилось лишь применительно к диэлектрикам в полевых транзисторах с изолированным затвором.

Традиционно в таких приборах используется диоксид кремния (SiO₂). Однако в целях миниатюризации транзисторов на определённом этапе потребовался переход к материалам с более высокой, чем у SiO₂ (3,9), проницаемостью. Это позволяет получить нужную ёмкость при более толстом[7] слое материала, что полезно, так как для тонких слоёв актуальны проблемы надёжности и туннельных утечек. Примерами применяемых подзатворных «high-k» диэлектриков являются ZrO₂, HfO₂ (у двух названных материалов ${\displaystyle \varepsilon \sim 25}$), TiO₂ (${\displaystyle \sim 80}$) и ряд других. Микросхемы на базе транзисторов с такими материалами начали серийно выпускаться в 2000-е годы[8]. Поиск новых подзатворных материалов продолжается.

При описании колебаний электрического поля методом комплексных амплитуд в случае диэлектрической среды с конечной проводимостью ${\displaystyle \sigma }$ уравнения Максвелла можно записывать по аналогии со случаем идеального диэлектрика, если ввести мнимую компоненту проницаемости.

Пусть напряженность электрического поля изменяется во времени по гармоническому закону (далее ${\displaystyle i}$ — мнимая единица):

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t}.}$

Тогда ${\displaystyle \partial \mathbf {E} /\partial t=-i\omega \mathbf {E} }$, а уравнение Максвелла для магнитного поля применительно к проводящей среде выглядит:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\sigma \mathbf {E} +\varepsilon _{0}\varepsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\varepsilon _{0}\left(\varepsilon +{\frac {i\sigma }{\varepsilon _{0}\omega }}\right){\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}$

Чтобы привести это уравнение к виду, формально совпадающему с видом уравнения для непроводящей среды, величина, стоящая в скобках, интерпретируется как комплексная диэлектрическая проницаемость ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}.}$ Значок сверху (опускаемый, если это не влечёт двусмысленности) подчеркивает, что речь идёт о комплексной величине. При наличии анизотропии ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}}$ становится тензорной величиной. Иногда в методе комплексных амплитуд используют зависимость вида ${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{i\omega t}}$ — тогда знак перед ${\displaystyle i}$ должен быть заменён везде.

Даже в случаях, когда в постоянном электрическом поле среда обладает очень малой проводимостью, на высоких частотах могут проявиться существенные потери, которые при таком подходе приписываются некоторой «эффективной» диэлектрической проницаемости:

${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}=\varepsilon '+\mathrm {i} \varepsilon ''.}$

Наличие мнимой части связано с конечной проводимостью ${\displaystyle \sigma ,}$ которая и обусловливает поглощение. Если частота изменения поля составляет ${\displaystyle \omega }$, то ${\displaystyle \varepsilon ''=\sigma /\varepsilon _{0}\omega }$.

Без метода комплексных амплитуд подставлять комплексную ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}}$ в уравнения Максвелла нельзя (следует оперировать непосредственно ${\displaystyle \varepsilon }$ и ${\displaystyle \sigma }$). Однако если известны ${\displaystyle \varepsilon '}$ и ${\displaystyle \varepsilon '',}$ то можно воспользоваться ими для анализа свойств среды, вычисления ряда других параметров включая показатель поглощения, а также получить готовыми ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon '}$ и ${\displaystyle \sigma =\varepsilon _{0}|\varepsilon ''|\cdot \omega }$ для соответствующей частоты.

Плотность мощности (Ватт/м³) тепловыделения за счёт диэлектрических потерь составляет:

${\displaystyle w_{\mathrm {loss} }={\frac {W_{\mathrm {loss} }}{V}}=\omega \cdot \varepsilon _{0}\cdot |\varepsilon ''|\cdot E^{2}.}$

Подобный механизм разогрева широко используется в микроволновых печах. Для характеристики диэлектрика с поглощением также используется величина «тангенса угла потерь» — отношение мнимой и вещественной частей комплексной диэлектрической проницаемости:

${\displaystyle {\rm {{tg}\,\delta ={\frac {|\varepsilon ''|}{\varepsilon '}}={\frac {\sigma }{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon '}}.}}}$

При протекании переменного тока через конденсатор векторы напряжения и тока сдвинуты на угол ${\displaystyle \pi /2-\delta }$, где δ — угол диэлектрических потерь.

При отсутствии потерь δ = 0. Тангенс угла потерь определяется отношением активной мощности к реактивной при синусоидальном напряжении заданной частоты. Величина, обратная tg δ, называется добротностью конденсатора.

При наличии поглощения взаимосвязь между компонентами комплексной проницаемости и оптическими величинами (показателями преломления и поглощения) устанавливается с использованием соотношений Крамерса — Кронига и имеет вид:

${\displaystyle (n+\mathrm {i} k)^{2}=(\varepsilon '+\mathrm {i} \varepsilon '')\mu ,}$

откуда для немагнитных сред следует:

${\displaystyle n^{2}={\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {\varepsilon '^{2}+\varepsilon ^{\prime \prime 2}}}+\varepsilon '\right),}$

${\displaystyle k^{2}={\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {\varepsilon '^{2}+\varepsilon ^{\prime \prime 2}}}-\varepsilon '\right).}$

Типичное поведение вещественной и мнимой составляющих диэлектрической проницаемости в широком диапазоне частот. Области резкого изменения этих составляющих соответствуют линиям поглощения, которые могут иметь различную природу: дипольная или ионная релаксация, атомные и электронные резонансы на высоких частотах[9]. СВЧ — сверхвысокие частоты, ИК — инфракрасный диапазон, ВД — видимый диапазон, УФ — ультрафиолетовый диапазон.

Зависимость действительной и мнимой составляющих диэлектрической проницаемости воды при 20 °C

Параметры ${\displaystyle \varepsilon '}$ и ${\displaystyle \sigma }$ обычно сильно зависят от частоты колебаний напряженности электрического поля. Например, ясно, что в дипольной модели поляризации процесс ориентации диполей может не успевать следовать за изменениями приложенного поля, что может проявиться как возрастанием, так и снижением проницаемости по сравнению с её статическим значением.

Наиболее типичное поведение ${\displaystyle \varepsilon '}$ и ${\displaystyle \varepsilon ''}$ как функций частоты ${\displaystyle \omega }$ представлено на рисунке. Далеко от линий и полос поглощения («собственных частот») материала значения ${\displaystyle \varepsilon ''}$ малы, а ${\displaystyle \varepsilon '}$ не изменяется или слабо растёт с частотой. В областях вблизи линий компонента ${\displaystyle \varepsilon ''}$ имеет максимумы, а ${\displaystyle \varepsilon '}$ резко спадает. При этом не исключена ситуация, при которой ${\displaystyle \varepsilon '(\omega )}$ в каком-то диапазоне окажется отрицательным или положительным, но меньше единицы. Практически ${\displaystyle \varepsilon '<0}$ является редким случаем, а ситуация ${\displaystyle 0<\varepsilon '(\omega )<1}$ на предельно высоких (рентгеновских) частотах характерна для всех материалов: в этой области ${\displaystyle \varepsilon '}$ с ростом ${\displaystyle \omega }$ подходит к единице снизу.

Таблицы неспециализированных справочников обычно содержат данные для статического поля или малых частот вплоть до нескольких единиц кГц (иногда даже без указания данного факта). В то же время значения ${\displaystyle \varepsilon '}$ в оптическом диапазоне (частота 10¹⁴ Гц) намного отличаются в меньшую сторону от данных, представленных в подобных таблицах. Например для воды в случае статического поля относительная диэлектрическая проницаемость приблизительно равна 80. Это имеет место вплоть до инфракрасных частот. Начиная примерно с 2 ГГц ${\displaystyle \varepsilon }$ (здесь ${\displaystyle \varepsilon '\approx \varepsilon }$) начинает падать. В оптическом диапазоне ${\displaystyle \varepsilon }$ составляет около 1,77, соответственно показатель преломления воды равен 1,33, а не квадратному корню из восьмидесяти.

Сведения о поведении относительной диэлектрической проницаемости воды в диапазоне частот от 0 до 10¹² (инфракрасная область) можно найти на сайте (англ.).