Добротность

Общая формула для добротности любой колебательной системы[1]:

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}W}{P_{d}}}={\frac {2\pi f_{0}W}{P_{d}}}}$,

где

• ${\displaystyle \omega _{0}}$ — резонансная круговая частота колебаний
• ${\displaystyle f_{0}}$ — резонансная частота колебаний
• ${\displaystyle W}$ — энергия, запасённая в колебательной системе
• ${\displaystyle P_{d}}$ — рассеиваемая мощность.

Например, в электрической резонансной цепи энергия рассеивается из-за конечного сопротивления цепи, в кварцевом кристалле затухание колебаний обусловлено внутренним трением в кристалле, в объемных электромагнитных резонаторах теряется в стенках резонатора, в его материале и в элементах связи, в оптических резонаторах — на зеркалах.

Для последовательного колебательного контура в RLC-цепях, в котором все три элемента включены последовательно:

${\displaystyle Q={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {\omega _{0}L}{R}},}$

где R, L и C — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно, а ${\displaystyle \omega _{0}}$ — частота резонанса. Выражение ${\displaystyle {\sqrt {L/C}}}$ часто называют характеристическим или волновым сопротивлением колебательного контура. Таким образом, добротность в колебательном контуре равна отношению волнового сопротивления к активному.

Для параллельного контура, в котором индуктивность, ёмкость и сопротивление включены параллельно:

${\displaystyle Q=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}={\frac {R}{\omega _{0}L}}}$

Формулировка частотного отклика или ширины полосы пропускания колебательной системы

ЛАФЧХ колебательных звеньев с разной добротностью

В данном случае R является входным сопротивлением параллельного контура. Однако практически для электрической цепи гораздо проще измерить ток или напряжение, чем энергию или мощность. Поскольку мощность и энергия пропорциональны квадрату амплитуды колебаний, ширина полосы частот на АЧХ определяется на высоте ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ от высоты максимума (примерно −3 дБ). Поэтому чаще используется другое эквивалентное определение добротности, которое связывает ширину амплитудной резонансной кривой ${\displaystyle \Delta \omega }$ по уровню ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ с круговой частотой резонанса ${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}:}$

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{\Delta \omega }}={\frac {\pi }{\delta }}=\pi N_{e},}$

где δ — логарифмический декремент затухания, равный отношению полуширины резонансной кривой к частоте резонанса, ${\displaystyle N_{e}}$ — число колебаний за время релаксации.

Для электрически малых антенн добротность можно определить соотношением[1]:

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}[W_{e}+W_{m}]}{P}}}$,

где

• ${\displaystyle \omega _{0}}$ — резонансная круговая частота электромагнитных колебаний
• ${\displaystyle W_{e}}$ — энергия электрического поля, запасённая в антенне
• ${\displaystyle W_{m}}$ — энергия магнитного поля, запасённая в антенне
• ${\displaystyle P}$ — рассеиваемая антенной мощность.

Для измерения электрической добротности на частотах до десятков и сотен мегагерц применяют измеритель добротности или измеритель иммитанса (косвенным способом), в диапазоне СВЧ применяются специальные методы.

Измеритель добротности

• Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. — Высшая школа, 1980. — 408 с. — 10 000 экз.
• Горелик Г. С. Колебания и волны. — М.: ГИФМЛ, 1959. — 572 с.

• ГПЭ единицы электрической добротности (неопр.). ФГУП «СНИИМ». Дата обращения: 12 февраля 2015.