Электрическая ёмкость

Электрическая ёмкость
Электрическая ёмкость
Размерность	L-2M-1T4I2
Единицы измерения
СИ	фарад
СГС	сантиметр

Электри́ческая ёмкость — характеристика проводника, мера его способности накапливать электрический заряд. В теории электрических цепей ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы, представленного в виде двухполюсника. Такая ёмкость определяется как отношение величины электрического заряда к разности потенциалов между этими проводниками[1].

В Международной системе единиц (СИ) ёмкость измеряется в фарадах, в системе СГС — в сантиметрах.

Для одиночного проводника ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены и что потенциал бесконечно удалённой точки принят равным нулю. В математической форме данное определение имеет вид

C={\frac {Q}{\varphi }},

где $Q$ — заряд, $\varphi$ — потенциал проводника.

Ёмкость определяется геометрическими размерами и формой проводника и электрическими свойствами окружающей среды (её диэлектрической проницаемостью) и не зависит от материала проводника. К примеру, ёмкость проводящего шара (или сферы) радиуса R равна (в системе СИ):

C=4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}R,

где ε₀ — электрическая постоянная, равная 8,854⋅10⁻¹² Ф/м, ε_r — относительная диэлектрическая проницаемость.

Вывод формулы

Известно, что $\varphi _{1}-\varphi _{2}=\int _{1}^{2}E\,dl\Rightarrow \varphi =\int _{R}^{\mathcal {\infty }}E\,dl={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\int _{R}^{\mathcal {\infty }}{\frac {q}{r^{2}}}\,dr={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{R}}.$

Так как $C={\frac {q}{\varphi }}$ , то подставив сюда найденный $\varphi$ , получим, что $C=4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}R.$

Понятие ёмкости также относится к системе проводников, в частности, к системе двух проводников, разделённых диэлектриком или вакуумом, — к конденсатору. В этом случае ёмкость (взаимная ёмкость) этих проводников (обкладок конденсатора) будет равна отношению заряда, накопленного конденсатором, к разности потенциалов между обкладками. Для плоского конденсатора ёмкость равна:

C=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}{\frac {S}{d}},

где S — площадь одной обкладки (подразумевается, что обкладки одинаковы), d — расстояние между обкладками, ε_r — относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками.

Электрическая ёмкость некоторых систем

Вычисление электрической ёмкости системы требует решение Уравнения Лапласа ∇²φ = 0 с постоянным потенциалом φ на поверхности проводников. Это тривиально в случаях с высокой симметрией. Нет никакого решения в терминах элементарных функций в более сложных случаях.

В квазидвумерных случаях аналитические функции отображают одну ситуацию на другую, электрическая ёмкость не изменяется при таких отображениях. См. также Отображение Шварца — Кристоффеля.

Электрическая ёмкость простых систем (СГС)
Вид	Ёмкость	Комментарий
Плоский конденсатор	${\frac {\varepsilon S}{4\pi d}}$	S: Площадь d: Расстояние
Два коаксиальных цилиндра	${\frac {\varepsilon l}{2\ln \left(R_{2}/R_{1}\right)}}$	l: Длина R₁: Радиус R₂: Радиус
Две параллельные проволоки[2]	${\frac {\varepsilon l}{4\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2a}}\right)}}={\frac {\varepsilon l}{4\ln \left({\frac {d}{2a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)}}$	a: Радиус d: Расстояние, d > 2a
Проволока параллельна стене[2]	${\frac {\varepsilon l}{2\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{a}}\right)}}={\frac {\varepsilon l}{2\ln \left({\frac {d}{a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)}}$	a: Радиус d: Расстояние, d > a l: Длина
Две параллельные копланарные полосы[3]	$\varepsilon l{\frac {K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{4\pi K\left(k\right)}}$	d: Расстояние w₁, w₂: Ширина полос k_m: d/(2w_m+d) k²: k₁k₂ K: Эллиптический интеграл l: Длина
Два концентрических шара	${\frac {\varepsilon }{{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}}}$	R₁: Радиус R₂: Радиус
Два шара одинакового радиуса[4][5]	${\frac {\varepsilon a}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\ln \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\ln \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}$ ${\frac {\varepsilon a}{2}}\left\{1+{\frac {1}{2D}}+{\frac {1}{4D^{2}}}+{\frac {1}{8D^{3}}}+{\frac {1}{8D^{4}}}+{\frac {3}{32D^{5}}}+O\left({\frac {1}{D^{6}}}\right)\right\}$ $={\frac {\varepsilon a}{2}}\left\{\ln 2+\gamma -{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {d}{a}}-2\right)+O\left({\frac {d}{a}}-2\right)\right\}$	a: Радиус d: Расстояние, d > 2a D = d/2a γ: Постоянная Эйлера
Шар вблизи стены[4]	$\varepsilon a\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\ln \left(2D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\ln \left(2D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}$	a: Радиус d: Расстояние, d > a D = d/a
Шар	$\varepsilon a$	a: Радиус
Круглый диск[6]	${\frac {2\varepsilon a}{\pi }}$	a: Радиус
Тонкая прямая проволока, ограниченная длина[7][8][9]	${\frac {\varepsilon l}{2\Lambda }}\left\{1+{\frac {1}{\Lambda }}\left(1-\ln 2\right)+{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}\left[1+\left(1-\ln 2\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right]+O\left({\frac {1}{\Lambda ^{3}}}\right)\right\}$	a: Радиус проволоки l: Длина Λ: ln(l/a)

Эластанс

Величина обратная ёмкости называется эластанс (эластичность). Единицей эластичности является дараф (daraf), но он не определён в системе физических единиц измерений СИ[10].

См. также

Квантовая ёмкость

Примечания

Шакирзянов Ф. Н. Ёмкость электрическая // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 28—29. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
Jackson, J. D. Classical Electrodynamics (неопр.). — Wiley, 1975. — С. 80.
Binns; Lawrenson. Analysis and computation of electric and magnetic field problems (англ.). — Pergamon Press, 1973. — ISBN 978-0-08-016638-4.
Maxwell, J. C. A Treatise on Electricity and Magnetism (неопр.). — Dover, 1873. — С. 266 ff. — ISBN 0-486-60637-6.
Rawlins, A. D. Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres (англ.) // IMA Journal of Applied Mathematics : journal. — 1985. — Vol. 34, no. 1. — P. 119—120. — doi:10.1093/imamat/34.1.119.
Jackson, J. D. Classical Electrodynamics (неопр.). — Wiley, 1975. — С. 128, problem 3.3.
Maxwell, J. C. On the electrical capacity of a long narrow cylinder and of a disk of sensible thickness (англ.) // Proc. London Math. Soc. : journal. — 1878. — Vol. IX. — P. 94—101. — doi:10.1112/plms/s1-9.1.94.
Vainshtein, L. A. Static boundary problems for a hollow cylinder of finite length. III Approximate formulas (англ.) // Zh. Tekh. Fiz. : journal. — 1962. — Vol. 32. — P. 1165—1173.
Jackson, J. D. Charge density on thin straight wire, revisited (неопр.) // Am. J. Phys. — 2000. — Т. 68, № 9. — С. 789—799. — doi:10.1119/1.1302908. — .
Тензорный анализ сетей, 1978, с. 509.

Литература

Боргман И. И.,. Электроёмкость // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Савельев И.В. Глава X. Движение заряженных частиц. // Курс общей физики. — 3. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — Т. 2. — С. 87—88. — 496 с. — 220 000 экз.
Г. Крон. Тензорный анализ сетей. — Москва: Сов. радио, 1978. — 720 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[ФЭ2-1] Шакирзянов Ф. Н. Ёмкость электрическая // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 28—29. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.

[Jackson_1975_80-2] Jackson, J. D. Classical Electrodynamics (неопр.). — Wiley, 1975. — С. 80.

[3] Binns; Lawrenson. Analysis and computation of electric and magnetic field problems (англ.). — Pergamon Press, 1973. — ISBN 978-0-08-016638-4.

[Maxwell_1873_266_ff-4] Maxwell, J. C. A Treatise on Electricity and Magnetism (неопр.). — Dover, 1873. — С. 266 ff. — ISBN 0-486-60637-6.

[5] Rawlins, A. D. Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres (англ.) // IMA Journal of Applied Mathematics : journal. — 1985. — Vol. 34, no. 1. — P. 119—120. — doi:10.1093/imamat/34.1.119.

[Jackson_1975_128-6] Jackson, J. D. Classical Electrodynamics (неопр.). — Wiley, 1975. — С. 128, problem 3.3.

[7] Maxwell, J. C. On the electrical capacity of a long narrow cylinder and of a disk of sensible thickness (англ.) // Proc. London Math. Soc. : journal. — 1878. — Vol. IX. — P. 94—101. — doi:10.1112/plms/s1-9.1.94.

[8] Vainshtein, L. A. Static boundary problems for a hollow cylinder of finite length. III Approximate formulas (англ.) // Zh. Tekh. Fiz. : journal. — 1962. — Vol. 32. — P. 1165—1173.

[9] Jackson, J. D. Charge density on thin straight wire, revisited (неопр.) // Am. J. Phys. — 2000. — Т. 68, № 9. — С. 789—799. — doi:10.1119/1.1302908. — .

[_e4e0d4ac1cf3ebf3-10] Тензорный анализ сетей, 1978, с. 509.

Словари и энциклопедии	Большая российская Britannica (онлайн)
В библиографических каталогах	GND: 4163236-9