Соглашение Эйнштейна

В тензорном анализе, в частности в его приложениях к общей теории относительности, теории упругости и дифференциальной геометрии, при записи выражений из многокомпонентных величин, пронумерованных верхними и нижними индексами (тензоров), для экономии записи бывает удобно использовать правило, называемое соглашением Эйнштейна (также известно как «правило суммирования Эйнштейна»): если одна и та же буква в обозначении индекса встречается в одночлене и сверху, и снизу, то такой одночлен полагается просуммированным по всем значениям, которые может принимать этот индекс. Например, в выражении

${\displaystyle v_{k}=a_{i}b_{k}^{i}}$

индекс ${\displaystyle i}$ встречается и сверху, и снизу, поэтому это выражение считается эквивалентным сумме

${\displaystyle v_{k}=\sum _{i}{a_{i}b_{k}^{i}}.}$

Точнее

${\displaystyle v_{k}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{k}^{i},}$

где ${\displaystyle n}$ — размерность пространства, на котором определены ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (здесь предполагается, что нумерация координат начинается с единицы).

Индекс, по которому проводится суммирование, называется немым; он может быть заменён любой буквой, при этом значение выражения, в которое он входит, не меняется (очевидно, что ${\displaystyle a_{i}b^{i}\equiv a_{j}b^{j}}$). Если индекс не является немым (свободный индекс), он должен встречаться в одинаковом положении в обеих частях (не)равенства; фактически в этом случае одно выражение представляет собой систему выражений (равенств или неравенств), число которых равно sⁿ, где s — количество свободных индексов. Например, если размерность n = 4, то выражение

${\displaystyle r_{lk}=p_{li}q_{k}^{i}}$

с двумя свободными индексами k и l представляет собой краткую запись 4²=16 равенств, в правой части каждого из которых стоит сумма четырёх произведений:

${\displaystyle r_{11}=p_{11}q_{1}^{1}+p_{12}q_{1}^{2}+p_{13}q_{1}^{3}+p_{14}q_{1}^{4};}$

${\displaystyle r_{12}=p_{11}q_{2}^{1}+p_{12}q_{2}^{2}+p_{13}q_{2}^{3}+p_{14}q_{2}^{4};}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle r_{44}=p_{41}q_{4}^{1}+p_{42}q_{4}^{2}+p_{43}q_{4}^{3}+p_{44}q_{4}^{4}.}$

В случае использования выражений в виде дробей, таких как частные производные, верхние индексы, записываемые в знаменателе, считаются для применения правила как бы нижними и наоборот; например, выражение

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i},}$

записывается в виде

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}}$

или в ещё более простом виде, когда запятая перед индексом обозначает частное дифференцирование по соответствующей координате:

${\displaystyle f^{,i}dx_{i}.}$

В некоторых случаях[1] (если метрический тензор полагается всегда равным δ_ik) верхние и нижние индексы в формулах не различают. В таком случае суммирование ведётся по любой паре повторяющихся индексов, встречающихся в одном и том же произведении тензоров. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle D_{\alpha \beta }n_{\alpha }=\sum _{\alpha =1}^{3}D_{\alpha \beta }n_{\alpha }.}$

Используя стандартное соглашение Эйнштейна, следовало бы писать ${\displaystyle D_{\beta }^{\alpha }n_{\alpha }}$.