Электрический дипольный момент

Рассчитанные электростатические поля четырёх различных типов электрических диполей.
1. Поле идеального точечного диполя. Конфигурация поля в большом масштабе инвариантна и приблизительно соответствует полю любой конфигурации зарядов с ненулевым дипольным моментом на большом расстоянии.
2. Дискретный диполь двух противоположно заряженных точечных зарядов разнесенных на конечное расстояние, — физический диполь.
3. Тонкий круглый диск с равномерной электрической поляризацией вдоль оси симметрии.
4. Плоский конденсатор с одинаково заряженными круглыми обкладками.
Несмотря на различие этих конфигураций, вблизи которых поля существенно различаются, все эти поля сходятся к одному и тому же дипольному полю на больших расстояниях, где они приблизительно одинаковы, при этом любая система зарядов может моделировать идеальный электрический диполь.

Простейшая система зарядов, имеющая определённый (не зависящий от выбора начала координат) ненулевой дипольный момент — диполь (две точечные частицы с одинаковыми по величине разноимёнными зарядами). Электрический дипольный момент такой системы по модулю равен произведению величины положительного заряда на расстояние между зарядами и направлен от отрицательного заряда к положительному, или:

${\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {l} ,}$

где ${\displaystyle q}$ — величина положительного заряда,

${\displaystyle \mathbf {l} }$ — вектор с началом в отрицательном заряде.

Для системы из ${\displaystyle N}$ частиц электрический дипольный момент равен:

${\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N}q_{i}\mathbf {r} _{i},}$

где ${\displaystyle q_{i}}$ — заряд частицы с номером ${\displaystyle i,}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ — её радиус-вектор,

или, если суммировать отдельно по положительным и отрицательным зарядам:

${\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N^{+}}q_{i}^{+}\mathbf {r} _{i}-\sum _{i=1}^{N^{-}}\left|q_{i}^{-}\right|r_{i}=Q^{+}\mathbf {R} ^{+}-|Q^{-}|\mathbf {R} ^{-},}$

где ${\displaystyle N^{\pm }}$ — число положительно/отрицательно заряженных частиц,

${\displaystyle N=N^{+}~+N^{-},}$ ${\displaystyle q_{i}^{\pm }}$ — их заряды,

${\displaystyle Q^{+},~\mathbf {R} ^{+},~Q^{-},~\mathbf {R} ^{-}}$ — суммарные заряды положительной и отрицательной подсистем и радиус-векторы их «центров тяжести»[прим 2].

Электрический дипольный момент нейтральной системы зарядов не зависит от выбора начала координат, а определяется относительным расположением (и величинами) зарядов в системе.

Из определения видно, что дипольный момент аддитивен (дипольный момент наложения нескольких систем зарядов равен просто векторной сумме их дипольных моментов), а в случае нейтральных систем это свойство приобретает ещё более удобную форму в силу изложенного в абзаце выше.

Электрический дипольный момент (если он ненулевой) определяет в главном приближении электрическое[прим 3] поле диполя (или любой ограниченной системы с суммарным нулевым зарядом) на большом расстоянии от него, а также воздействие на диполь внешнего электрического поля.

Физический и вычислительный смысл дипольного момента состоит в том, что он дает поправки первого порядка (чаще всего — малые) в положение каждого заряда системы по отношению к началу координат (которое может быть условным, но приближенно характеризует положение системы в целом — система при этом подразумевается достаточно компактной). Эти поправки входят в него в виде векторной суммы, и везде, где при вычислениях такая конструкция встречается (а в силу принципа суперпозиции и свойства сложения линейных поправок — см.Полный дифференциал — такая ситуация встречается часто), там в формулах оказывается дипольный момент.

Из квантовой теории известно, что если система была в состоянии ${\displaystyle k}$, то вероятность найти её в состоянии ${\displaystyle l}$ через время ${\displaystyle t}$ после вынужденного излучательного перехода под действием внешнего поля ${\displaystyle E_{0}}$ частотой ${\displaystyle \nu }$ будет равна:

${\displaystyle a_{l}(t)={\cfrac {|d_{kl}|^{2}}{4\pi ^{2}}}\;E_{0}^{2}\;t\;{\cfrac {\sin ^{2}(\pi (\nu -\nu _{0})t)}{\pi (\nu -\nu _{0})t}}.}$

Если наблюдать за системой продолжительное время, то последняя дробь в формуле перестаёт зависеть от времени, и выражение приведётся к виду:

${\displaystyle a_{l}(t)={\cfrac {|d_{kl}|^{2}}{4\pi ^{2}}}\;E_{0}^{2}\;t\;\delta (\nu -\nu _{0}),}$

где ${\displaystyle \delta (\nu -\nu _{0})}$ — дельта-функция Дирака.

В указанной формуле ${\displaystyle d_{kl}}$ — это элементы матричного оператора дипольного момента ${\displaystyle {\hat {d}}}$ по времени перехода ${\displaystyle k\!-\!l,}$ которые определяются как:

${\displaystyle d_{kl}=e\;\int _{V}\Psi _{k}^{*}(x,y,z)\cdot x\cdot \Psi _{l}(x,y,z)\;dV,}$

где ${\displaystyle e}$ — заряд электрона,

${\displaystyle \Psi }$ — волновая функция (чётная либо нечётная).

В частности, очевидно, что если ${\displaystyle k=l,}$ то интеграл станет равным нулю.

Соответственно, сам матричный оператор дипольного момента представляет собой матрицу размера [количество энергетических уровней умноженное на количество энергетических уровней], в которой элементы, лежащие на главной диагонали, равны нулю, а не лежащие — в общем случае не равны.

Для фиксированных угловых координат (то есть вдоль радиуса, идущем из центра электрического диполя в бесконечность) напряжённость статического[прим 4] электрического поля диполя или в целом нейтральной системы зарядов, имеющей ненулевой дипольный момент[прим 5], на больших расстояниях ${\displaystyle r}$ асимптотически приближается к виду ${\displaystyle r^{-3},}$ электрический потенциал приближается к ${\displaystyle r{-2}.}$ Таким образом, статическое поле диполя убывает на больших расстояниях быстрее, чем поле одиночного заряда, но медленнее, чем поле любого более старшего мультиполя (квадруполя, октуполя и т. д.).

Напряжённость электрического поля и электрический потенциал неподвижного или медленно движущегося диполя (или в целом нейтральной системы зарядов, имеющей ненулевой дипольный момент) с электрическим дипольным моментом ${\displaystyle \mathbf {p} }$ на больших расстояниях в главном приближении выражаются как:

в СГСЭ: ${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {p} )-\mathbf {p} }{r^{3}}},\qquad \varphi =-\mathbf {p} \cdot \mathbf {\nabla } {\frac {1}{r}},}$

в СИ: ${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {p} )-\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}},\qquad \varphi =-\mathbf {p} \cdot \mathbf {\nabla } {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}r}},}$

где ${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}$ — единичный вектор из центра диполя в направлении точки измерения, а точкой обозначено скалярное произведение.

В декартовых координатах, ось ${\displaystyle x}$ которых направлена вдоль вектора дипольного момента, а ось ${\displaystyle y}$ выбрана так, чтобы точка, в которой рассчитывается поле, лежала в плоскости ${\displaystyle x,\ y,}$ компоненты этого поля записываются так:

${\displaystyle E_{x}={\frac {p}{r^{3}}}(3\cos ^{2}\theta -1),}$

${\displaystyle E_{y}={\frac {3p}{r^{3}}}\cos \theta \sin \theta ,}$

${\displaystyle E_{z}=0,}$

где ${\displaystyle \theta }$ — угол между направлением вектора дипольного момента и радиус-вектором в точку наблюдения.

Формулы приведены в системе СГС. В СИ аналогичные формулы отличаются только множителем ${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}.}$

Достаточно просты выражения (в том же приближении, тождественно совпадающие с формулами, приведенными выше) для продольной (вдоль радиус-вектора, проведенного от диполя в данную точку) и поперечной компонент напряженности электрического поля:

${\displaystyle E_{||}={\frac {2p}{r^{3}}}\cos \theta ,}$

${\displaystyle E_{\perp }={\frac {p}{r^{3}}}\sin \theta .}$

Третья компонента напряженности электрического поля — ортогональная плоскости, в которой лежат вектор дипольного момента и радиус-вектор, — всегда равна нулю. Формулы также в СГС, в СИ, как и формулы выше, отличаются лишь множителем ${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}.}$

Простой также оказывается связь угла между вектором ${\displaystyle \mathbf {E} }$ и радиус-вектором (или вектором ${\displaystyle \mathbf {n} }$):

${\displaystyle \mathrm {tg} \beta ={\frac {1}{2}}\mathrm {tg} \theta .}$

Модуль вектора напряженности электрического поля (в СГС):

${\displaystyle E={\frac {p}{r^{3}}}{\sqrt {3\cos ^{2}\theta +1}}.}$

• Во внешнем электрическом поле ${\displaystyle \mathbf {E} }$ на электрический диполь действует момент сил ${\displaystyle {\mathbf {p} }\times {\mathbf {E} },}$ который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля.
• Потенциальная энергия электрического диполя в электрическом поле равна ${\displaystyle -{\mathbf {E} }\cdot {\mathbf {p} }.}$
• Со стороны неоднородного поля на диполь действует сила (в первом приближении):

${\displaystyle \Sigma _{i}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial x_{i}}}p_{i}.}$

Об условиях корректности приближенных (в общем случае) формул данного параграфа — см. ниже.

Системные единицы измерения электрического дипольного момента не имеют специального названия. В Международной системе единиц (СИ) это просто Кл·м.

Электрический дипольный момент молекул принято измерять в дебаях (сокращение — Д):

1 Д = 10⁻¹⁸ единиц СГСЭ момента электрического диполя,

1 Д = 3,33564·10⁻³⁰ Кл·м.

Дипольный момент единицы объёма (поляризованной) среды (диэлектрика) называется вектором электрической поляризации.

Многие экспериментальные работы посвящены поиску электрического дипольного момента (ЭДМ) фундаментальных и составных элементарных частиц, а именно электронов и нейтронов. Поскольку ЭДМ нарушает как пространственную (Р), так и временну́ю (T) чётность, его значение даёт (при условии ненарушенной СРТ-симметрии) модельно-независимую меру нарушения CP-симметрии в природе. Таким образом, значения ЭДМ дают сильные ограничения на масштаб CP-нарушения, которое может возникать в расширениях Стандартной Модели физики элементарных частиц.

Действительно, многие теории, несовместимые с существующими экспериментальными пределами на ЭДМ частиц, уже были исключены. Стандартная Модель (точнее, её раздел — квантовая хромодинамика) сама по себе допускает гораздо большее значение ЭДМ нейтрона (около 10⁻⁸ Д), чем эти пределы, что привело к возникновению так называемой сильной CP-проблеме и вызвало поиски новых гипотетических частиц, таких как аксион.

Текущие эксперименты по поиску ЭДМ частиц достигает чувствительности в диапазоне, где могут проявляться эффекты суперсимметрии. Эти эксперименты дополняют поиск эффектов суперсимметрии на LHC.

В 2018 г. установлено, что ЭДМ электрона не превышает ${\displaystyle 1{,}1\cdot 10^{-29}}$ e·см, e — элементарный заряд[1].

Дипольный член (определяемый дипольным моментом системы или распределения зарядов) является лишь одним из членов бесконечного ряда, называемого мультипольным разложением, дающего при полном суммировании точное значение потенциала или напряженности поля в точках, находящихся на конечном расстоянии от системы зарядов-источников. В этом смысле дипольный член выступает как равноправный с остальными, в том числе и высшими, членами мультипольного разложения (хотя зачастую он и может давать больший вклад в сумму, чем высшие члены). Этот взгляд на дипольный момент и дипольный вклад в создаваемое системой зарядов электрическое поле обладает существенной теоретической ценностью, но в деталях довольно сложен и довольно далеко выходит за рамки необходимого для понимания существенных физического смысла свойств дипольного момента и большинства областей его использования.

Для прояснения физического смысла дипольного момента, так же как и для большинства его приложений, достаточно ограничиться гораздо более простым подходом — рассматривать дипольное приближение.

Широкое использование дипольного приближения основывается на той ситуации, что очень во многих, в том числе теоретически и практически важных случаях, можно не суммировать весь ряд мультипольного разложения, а ограничиться только низшими его членами — до дипольного включительно. Часто этот подход дает вполне удовлетворительную или даже очень маленькую погрешность.

Комментарии

Источники

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
• Минкин В. И., Осипов О. А., Жданов Ю. А., Дипольные моменты в органической химии. Л., 1968;
• Осипов О. А., Минкин В. И., Гарновский А. Д., Справочник по дипольным моментам, 3 изд.. М., 1971;
• Exner О., Dipole moments in organic chemistry, Stuttg., 1975.