Вынужденное излучение

Рис. 1a. Поглощение фотона

Рис. 1б. Вынужденное испускание фотона

Рис. 1в. Спонтанное испускание фотона

Большой вклад в разработку вопроса о вынужденном излучении (испускании) внёс А. Эйнштейн, опубликовав в 1916 и 1917 годах соответствующие научные статьи. Гипотеза Эйнштейна состоит в том, что под действием электромагнитного поля частоты ω молекула (атом) может:

• перейти с более низкого энергетического уровня ${\displaystyle E_{1}}$ на более высокий ${\displaystyle E_{2}}$ с поглощением фотона энергией ${\displaystyle \hbar \omega =E_{2}-E_{1}}$ (см. рис. 1a);
• перейти с более высокого энергетического уровня ${\displaystyle E_{2}}$ на более низкий ${\displaystyle E_{1}}$ с испусканием фотона энергией ${\displaystyle \hbar \omega =E_{2}-E_{1}}$ (см. рис. 1б);
• кроме того, как и в отсутствие возбуждающего поля, остаётся возможным самопроизвольный переход молекулы (атома) с верхнего на нижний уровень с испусканием фотона энергией ${\displaystyle \hbar \omega =E_{2}-E_{1}}$ (см. рис. 1в).

Первый процесс принято называть поглощением, второй — вынужденным (индуцированным) испусканием, третий — спонтанным испусканием. Скорость поглощения и вынужденного испускания фотона пропорциональна вероятности соответствующего перехода: ${\displaystyle B_{12}\cdot u}$ и ${\displaystyle B_{21}\cdot u,}$ где ${\displaystyle B_{12},}$ ${\displaystyle B_{21}}$ — коэффициенты Эйнштейна для поглощения и испускания, ${\displaystyle u}$ — спектральная плотность излучения.

Число переходов ${\displaystyle \mathrm {d} n_{1}}$ с поглощением света выражается как

${\displaystyle \mathrm {d} n_{1}=B_{12}u\cdot n_{1}\mathrm {d} t,\qquad \qquad (1)}$

с испусканием света даётся выражением:

${\displaystyle \mathrm {d} n_{2}=(A_{21}+B_{21}u)\cdot n_{2}\mathrm {d} t,\qquad (2)}$

где ${\displaystyle A_{21}}$ — коэффициент Эйнштейна, характеризующий вероятность спонтанного излучения, а ${\displaystyle n_{1},n_{2}}$ — число частиц в первом или во втором состоянии соответственно. Согласно принципу детального равновесия, при термодинамическом равновесии число квантов света ${\displaystyle \mathrm {d} n_{1}}$ при переходах 1 → 2 должно равняться числу квантов ${\displaystyle \mathrm {d} n_{2},}$ испущенных в обратных переходах 2 → 1.

Рассмотрим замкнутую полость, стенки которой испускают и поглощают электромагнитное излучение. Такое излучение характеризуется спектральной плотностью ${\displaystyle u(\omega ,T),}$ получаемой из формулы Планка:

${\displaystyle u(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-1}}.\qquad \qquad (3)}$

Так как мы рассматриваем термодинамическое равновесие, то ${\displaystyle \mathrm {d} n_{1}=\mathrm {d} n_{2}.}$ Используя уравнения (1) и (2), находим для состояния равновесия:

${\displaystyle B_{12}u(\omega ,T)n_{1}=(A_{21}+B_{21}u(\omega ,T))n_{2},}$

откуда:

${\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {B_{12}u(\omega ,T)}{A_{21}+B_{21}u(\omega ,T)}}.\qquad \qquad (4)}$

При термодинамическом равновесии распределение частиц по уровням энергии подчиняется закону Больцмана:

${\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {E_{2}-E_{1}}{kT}}\right),\qquad \qquad (5)}$

где ${\displaystyle g_{1}}$ и ${\displaystyle g_{2}}$ — статистические веса уровней, показывающие количество независимых состояний квантовой системы, имеющих одну и ту же энергию (вырожденных). Будем считать для простоты, что статвеса уровней равны единице.

Итак, сравнивая (4) и (5) и принимая во внимание, что ${\displaystyle \hbar \omega =E_{2}-E_{1},}$ получим:

${\displaystyle u(\omega ,T)={\frac {A_{21}}{B_{12}\mathrm {exp} (\hbar \omega /kT)-B_{21}}}.\qquad \qquad (6)}$

Так как при ${\displaystyle T\to \infty }$ спектральная плотность излучения должна неограниченно возрастать, то нам следует положить знаменатель равным нулю, откуда имеем:

${\displaystyle B_{12}=B_{21}.}$

Далее, сопоставив (3) и (6), легко получить:

${\displaystyle B_{21}={\frac {\pi ^{2}c^{3}}{\hbar \omega ^{3}}}\cdot A_{21}.}$

Последние два соотношения справедливы для любых комбинаций уровней энергии. Их справедливость сохраняется и при отсутствии равновесия, так как определяются только характеристикой систем и не зависят от температуры.

По свойствам вынужденное испускание существенно отличается от спонтанного.

• Наиболее характерная черта вынужденного излучения заключается в том, что возникшая электромагнитная волна распространяется в том же направлении, что и первоначальная индуцирующая волна.
• Частоты и поляризация вынужденного и первоначального излучений также равны.
• Вынужденный поток когерентен возбуждающему.

На вынужденном излучении основан принцип работы квантовых усилителей, лазеров и мазеров. В рабочем теле лазера путём накачки создаётся избыточное (по сравнению с термодинамическим ожиданием) количество атомов в верхнем энергетическом состоянии. Рабочее тело газового лазера находится в резонаторе (в простейшем случае — пара зеркал), создающем условия для накапливания фотонов с определённым направлением импульса. Первоначальные фотоны возникают за счёт спонтанного излучения. Затем, благодаря наличию положительной обратной связи, вынужденное излучение лавинообразно возрастает. Лазеры обычно используются для генерации излучения, тогда как мазеры, работающие в области радиочастот, применяются также и для усиления.

• Лазер
• Мазер
• Квантовый генератор

• Микаэлян А. Л., Тер-Микаелян М. Л., Турков Ю. Г. Оптические генераторы на твёрдом теле. — М.: Советское радио, 1967.