Мультиполь

Электростатический потенциал системы зарядов в точке ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle \varphi (\mathbf {R} )=\sum \limits _{i}{\frac {q_{i}}{|\mathbf {R} -\mathbf {r} _{i}|}},}$

где ${\displaystyle q_{i}}$ — заряды, ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ — их координаты. Раскладывая этот потенциал в ряд Тейлора, получим

${\displaystyle \varphi (\mathbf {R} )=\sum \limits _{l=0}^{\infty }\varphi ^{(l)}(\mathbf {R} ),}$

называемое мультипольным разложением, где введено обозначение

${\displaystyle \varphi ^{(l)}(\mathbf {R} )={\frac {(-1)^{l}}{l!}}\sum \limits _{i}q_{i}\sum \limits _{\alpha _{1}\ldots \alpha _{l}}r_{i}^{\alpha _{1}}\dots r_{i}^{\alpha _{l}}{\frac {\partial ^{l}}{\partial R^{\alpha _{1}}\dots \partial R^{\alpha _{l}}}}\left({\frac {1}{R}}\right)}$

— ${\displaystyle 2^{l}}$-польные потенциалы, ${\displaystyle l}$ называют порядком члена мультипольного разложения. Член 0-го порядка имеет вид

${\displaystyle \varphi ^{(0)}(\mathbf {R} )={\frac {\sum \limits _{i}q_{i}}{R}},}$

что совпадает с потенциалом точечного заряда ${\displaystyle Q=\sum \limits _{i}q_{i}}$ (потенциалом монополя). Член 1-го порядка равен

${\displaystyle \varphi ^{(1)}(\mathbf {R} )={\frac {\left(\sum \limits _{i}q_{i}\mathbf {r} _{i}\right)\mathbf {n} }{R^{2}}},}$

где ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {R} /R}$ — единичный вектор, направленный вдоль ${\displaystyle \mathbf {R} }$. Если ввести дипольный момент системы зарядов как ${\displaystyle \mathbf {d} =\sum \limits _{i}q_{i}\mathbf {r} _{i}}$, то система ${\displaystyle \varphi ^{(1)}(\mathbf {R} )}$ совпадёт с потенциалом точечного диполя. Таким образом, потенциал в 1-м порядке разложения по мультиполям имеет вид

${\displaystyle \varphi (\mathbf {R} )={\frac {q}{R}}+{\frac {\mathbf {d} \mathbf {n} }{R^{2}}}+O\left({\frac {1}{R^{3}}}\right).}$

Если ${\displaystyle q=0}$, то дипольный момент не зависит от выбора начала координат. Если ${\displaystyle q\neq 0}$, то можно выбрать систему координат с центром в точке ${\displaystyle \mathbf {R} _{0}=\mathbf {d} /q}$, тогда дипольный момент станет равным нулю. Такая система называется системой центра заряда. Следующий член разложения имеет вид

${\displaystyle \varphi ^{(2)}(\mathbf {R} )={\frac {D^{\alpha _{1}\alpha _{2}}n_{\alpha _{1}}n_{\alpha _{2}}}{2R^{3}}},}$

где ${\displaystyle D^{\alpha _{1}\alpha _{2}}=\sum \limits _{i}q_{i}(3r_{i}^{\alpha _{1}}r_{i}^{\alpha _{2}}-\delta ^{\alpha _{1}\alpha _{2}}\mathbf {r} _{i}^{2})}$ — квадрупольный момент системы зарядов. Введём матрицу ${\displaystyle D}$ квадрупольного момента. Тогда потенциал в 2-м порядке разложения по мультиполям примет вид

${\displaystyle \varphi (\mathbf {R} )={\frac {q}{R}}+{\frac {\mathbf {d} \mathbf {n} }{R^{2}}}+{\frac {\mathbf {n} D\mathbf {n} }{2R^{3}}}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right).}$

Матрица ${\displaystyle D}$ является бесследовой, то есть ${\displaystyle \mathrm {tr} D=0}$. Кроме того, она является симметричной, то есть ${\displaystyle D^{T}=D}$. Поэтому она может быть приведена к диагональному виду с помощью поворота осей декартовых координат.

В общем случае вклад ${\displaystyle l}$-го порядка в потенциал может быть представлен в виде:

${\displaystyle \varphi ^{(l)}(\mathbf {R} )={\frac {d^{\alpha _{1}\dots \alpha _{l}}n_{\alpha _{1}}\dots n_{\alpha _{l}}}{l!R^{l+1}}},}$

где ${\displaystyle d^{\alpha _{1}\dots \alpha _{l}}}$ — ${\displaystyle 2^{l}}$-польный момент системы зарядов, представляющий собой неприводимый тензор ${\displaystyle l}$-го порядка. Этот тензор симметричен по любой паре индексов и обращается в нуль при сворачивании по любой паре индексов.

Если заряд распределён с некоторой плотностью ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$, то переходя к непрерывному пределу (или непосредственно выводя из исходных формул) в формулах для дискретного распределения можно получить мультипольное разложение и в этом случае:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {R} )=\int \limits _{(V)}{\frac {\rho (\mathbf {r} )}{|\mathbf {R} -\mathbf {r} |}}d^{3}\mathbf {r} ,}$

где ${\displaystyle V}$ — объём, в котором находится распределённый заряд. Тогда мультипольные моменты имеют вид:

${\displaystyle q=\int \limits _{(V)}\rho (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ,}$

${\displaystyle \mathbf {d} =\int \limits _{(V)}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} d^{3}\mathbf {r} ,}$

${\displaystyle D^{\alpha _{1}\alpha _{2}}=\int \limits _{(V)}\rho (\mathbf {r} )(3r^{\alpha _{1}}r^{\alpha _{2}}-\delta ^{\alpha _{1}\alpha _{2}}\mathbf {r} ^{2})d^{3}\mathbf {r} }$

Формулы для потенциалов мультиполей остаются неизменными. Случай дискретной системы зарядов может быть получен подстановкой их плотности распределения, которая может быть выражена через δ-функции:

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\sum _{i}q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}).}$

При вычислении потенциала полезна формула ${\displaystyle {\frac {1}{|R-r|}}={\frac {1}{R}}\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}}$, где ${\displaystyle P_{n}(x)}$ — полиномы Лежандра, ${\displaystyle x=\cos \theta }$.[5]