Электрическое поле

В частном случае стационарного состояния (стационарные заряды и токи) индуктивный эффект Максвелла — Фарадея исчезает. Полученные два уравнения (закон Гаусса ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$ и закон Фарадея без индукционного члена ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0}$), вместе взятые, эквивалентны закону Кулона, который гласит, что частица с электрическим зарядом ${\displaystyle q_{1}}$ в точке ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}}$ (радиус-вектор) действует с силой на частицу с зарядом ${\displaystyle q_{0}}$ в точке ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$:[13]

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q_{1}q_{0} \over ({\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{0})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}_{1,0}}$,

где ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1,0}}$ — единичный вектор в направлении от точки ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}}$ в точку ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$, а ε₀ — электрическая постоянная (также известная как «абсолютная диэлектрическая проницаемость свободного пространства») с единицами измерения C ² м ⁻² Н ⁻¹. Если заряды находятся не в вакууме, а в однородном диэлектрике, то ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ заменяется на диэлектрическую проницаемость среды ${\displaystyle \varepsilon _{0}\varepsilon }$.

Когда заряды ${\displaystyle q_{0}}$ и ${\displaystyle q_{1}}$ имеют одинаковые знаки, эта сила положительна и направлена от другого заряда, то есть частицы отталкиваются друг от друга. Когда заряды имеют разные знаки, сила отрицательна, что указывает на притяжение частиц. Чтобы упростить расчет кулоновской силы для любого заряда в точке ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$, это выражение можно разделить на ${\displaystyle q_{0}}$ оставив выражение, которое зависит только от другого заряда (заряда источника)[14]

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}}_{0})={{\boldsymbol {F}} \over q_{0}}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q_{1} \over ({\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{0})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}_{1,0}}$

Это электрическое поле в точке ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$ создаваемое точечным зарядом ${\displaystyle q_{1}}$. Она представляет собой векторную функцую, которая равна кулоновской силе на единицу заряда, испытываемой положительным точечным зарядом в точке ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$. Поскольку эта формула дает величину и направление электрического поля в любой точке ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{0}}$ пространства (кроме места нахождения самого заряда, ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1}}$, где оно становится бесконечным), то оно определяет векторное поле. Из приведенной выше формулы видно, что электрическое поле, создаваемое точечным зарядом, везде направлено от заряда, если он положительный, и в сторону заряда, если он отрицательный, и его величина уменьшается пропорционально обратному квадрату расстояния от заряда.

Кулоновская сила действующая на заряд величиной ${\displaystyle q}$ в любой точке пространства равна произведению заряда и электрического поля в этой точке

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=q{\boldsymbol {E}}}$

Единицы электрического поля в системе СИ — ньютон на кулон (Н / Кл) или вольт на метр (В / м); в основных единицах системы СИ это кг⋅м⋅с⁻³ ⋅A^−1.

Из-за линейности уравнений Максвелла электрические поля удовлетворяют принципу суперпозиции, который гласит, что полное электрическое поле в точке от распределённых в пространстве зарядов равно векторной сумме электрических полей создаваемых в этой точке отдельными зарядами. Этот принцип полезен при расчете поля, создаваемого множественными точечными зарядами. Если заряды ${\displaystyle q_{1},q_{2},...,q_{n}}$ неподвижно расположены в точках ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},...\mathbf {x} _{n}}$, то при отсутствии токов принцип суперпозиции гласит, что результирующее поле является суммой полей, генерируемых каждой частицей, и описывается законом Кулона:

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {E}}_{1}({\boldsymbol {x}})+{\boldsymbol {E}}_{2}({\boldsymbol {x}})+{\boldsymbol {E}}_{3}({\boldsymbol {x}})+\cdots =}$

${\displaystyle ={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q_{1} \over ({\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}_{1}+{1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q_{2} \over ({\boldsymbol {x}}_{2}-{\boldsymbol {x}})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}_{2}+{1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{q_{3} \over ({\boldsymbol {x}}_{3}-{\boldsymbol {x}})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}_{3}+\cdots }$

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}})={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{k=1}^{N}{q_{k} \over ({\boldsymbol {x}}_{k}-{\boldsymbol {x}})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}_{k}}$,

где ${\displaystyle {\boldsymbol {{\hat {r}}_{k}}}}$ — единичный вектор направленный от точки ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k}}$ в точку ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ .

Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электрическое поле от непрерывного распределения заряда ${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}})}$ (где ${\displaystyle \rho }$ — плотность заряда в кулонах на кубический метр). Учитывая заряд ${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {x}}')dV}$ в каждом небольшом объёме пространства ${\displaystyle dV}$ в точке ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}'}$ в виде точечного заряда, то электрическое поле ${\displaystyle d{\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}})}$ в точке ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ можно рассчитать как

${\displaystyle d{\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}})={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{\rho ({\boldsymbol {x}}')dV \over ({\boldsymbol {x}}'-{\boldsymbol {x}})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}'}$

где ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {r}}}'}$ это единичный вектор, направленный от ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}'}$ к ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$. Полное электрическое поле находится путем «сложения» вкладов от всех малых объёмов путем интегрирования по объёму распределения заряда ${\displaystyle \rho (x')}$ :

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}})={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\iiint \limits _{V}\,{\rho ({\boldsymbol {x}}')dV \over ({\boldsymbol {x}}'-{\boldsymbol {x}})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}'}$

Аналогичные уравнения записываются для поверхностного заряда с непрерывным распределением заряда ${\displaystyle \sigma ({\boldsymbol {x}})}$ где ${\displaystyle \sigma }$ это плотность заряда в кулонах на квадратный метр

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}})={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\iint \limits _{S}\,{\sigma ({\boldsymbol {x}}')dA \over ({\boldsymbol {x}}'-{\boldsymbol {x}})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}'}$

и для линейных зарядов с непрерывным распределением заряда ${\displaystyle \lambda ({\boldsymbol {x}})}$ где ${\displaystyle \lambda }$ — плотность заряда в кулонах на метр.

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}})={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\int \limits _{P}\,{\lambda ({\boldsymbol {x}}')dL \over ({\boldsymbol {x}}'-{\boldsymbol {x}})^{2}}{\hat {\boldsymbol {r}}}'}$

Если система статична, так что магнитные поля не меняются во времени, то по закону Фарадея электрическое поле потенциально. В этом случае можно задать электрический потенциал, то есть функцию ${\displaystyle \Phi }$ такую, что ${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi }$ .[15] Это аналог гравитационного потенциала. Разница между электрическим потенциалом в двух точках пространства называется разностью потенциалов (или напряжением) между этими двумя точками.

Однако в общем случае электрическое поле нельзя описать независимо от магнитного поля. Учитывая вектор магнитного потенциала A, определённый как ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$, можно задать электрический потенциал ${\displaystyle \Phi }$ в виде

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

где ${\displaystyle \nabla \Phi }$ — градиент электрического потенциала и ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$ — частная производная от A по времени.

Закон индукции Фарадея можно получить, взяв ротор от этого уравнения[16]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

что a posteriori подтверждает правильность выбранной формы для E.

Для записи уравнений электромагнетизма лучше использовать непрерывные функций. Однако иногда заряды удобнее описывать как отдельные точки; например, в некоторых моделях можно описывать электроны как точечные источники, где плотность заряда бесконечна на бесконечно малом участке пространства.

Заряд ${\displaystyle q}$ расположенный в ${\displaystyle \mathbf {r_{0}} }$ математически можно описать как плотность заряда ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r-r_{0}} )}$, где используется дельта-функция Дирака (в трех измерениях). И наоборот, непрерывное распределение заряда можно аппроксимировать множеством небольших точечных зарядов.

Закон Кулона, описывающий взаимодействие электрических зарядов:

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left({\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {\hat {r}} }{|\mathbf {r} |^{2}}}\right)=q\mathbf {E} }$

похож на закон всемирного тяготения Ньютона :

${\displaystyle \mathbf {F} =m\left(-GM{\frac {\mathbf {\hat {r}} }{|\mathbf {r} |^{2}}}\right)=m\mathbf {g} }$

(где ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r/|r|} }$ — единичный вектор), что предполагает сходство между электрическим полем E и гравитационным полем g или связанными с ними потенциалами. Масса иногда называется «гравитационным зарядом».[18]

И электростатические и гравитационные силы являются центральными, консервативными и подчиняются закону обратных квадратов.

Изображение линий электрического поля между двумя параллельными проводящими пластинами конечного размера (известного как конденсатор с параллельными пластинами). В середине между пластинвми, и вдали от краев, электрическое поле почти однородно.

Однородное поле — это поле, в котором электрическое поле постоянно в каждой точке. Это можно приблизительно представить, разместив две проводящие пластины параллельно друг другу и поддерживая между ними напряжение (разность потенциалов), но из-за граничных эффектов (около края плоскостей) электрическое поле искажается. В предположении бесконечных плоскостей величина электрического поля E равна:

${\displaystyle E=-{\frac {\Delta V}{d}}}$

где Δ V — разность потенциалов между пластинами, а d — расстояние, разделяющее пластины. Отрицательный знак возникает, когда положительные заряды отталкиваются, поэтому на положительный заряд будет действовать сила от положительно заряженной пластины в направлении, противоположном тому, в котором увеличивается напряжение. В микро- и нано-приложениях, например, относящихся к полупроводникам, типичная величина электрического поля составляет порядка 10⁶ V⋅m⁻¹, которое достигается за счет приложения напряжения порядка 1 вольта между проводниками, расположенными на расстоянии 1 мкм друг от друга.

В присутствии вещества полезно расширить понятие электрического поля до трех векторных полей:[21]

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \!}$,

где P — электрическая поляризация — объемная плотность электрических дипольных моментов, а D — поле электрического индукция. Поскольку E и P определяются отдельно, это уравнение можно использовать для определения D. Физическая интерпретация D не так ясна, как E (фактически поле, приложенное к материалу) или P (индуцированное поле из-за электрических диполей в материале), но всё же служит удобным математическим упрощением, поскольку уравнения Максвелла можно упростить в терминах свободных зарядов и токов.

Поля E и D связаны посредством диэлектрической проницаемости материала ε .[22]

Для линейных, однородных, изотропных материалов E и D пропорциональны и постоянны во всём объёме, без зависимости от координат

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$

Для неоднородных материалов существует координатная зависимость[23]

${\displaystyle \mathbf {D(r)} =\varepsilon (\mathbf {r} )\mathbf {E(r)} }$

Для анизотропных материалов поля E и D не параллельны, и поэтому E и D связаны посредством тензора диэлектрической проницаемости (поле тензора 2-го ранга) в компонентной форме:

${\displaystyle D_{i}=\varepsilon _{ij}E_{j}}$

Для нелинейных сред E и D непропорциональны. Материалы могут иметь различную степень линейности, однородности и изотропии.