Силовые линии векторного поля

Электрическое поле, согласно уравнениям Максвелла:

${\displaystyle \mathrm {rot} ~\mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ и

${\displaystyle \mathrm {div} ~\mathbf {D} =\rho ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {E} }$ — вектор напряжённости электрического полям;

${\displaystyle \mathbf {B} }$ — вектор напряженности магнитного поля;

${\displaystyle \mathbf {D} }$ — вектор индукции электрического поля;

${\displaystyle \rho }$ — плотность электрического заряда.

Электрическое поле может быть как потенциальным полем, так и вихревым (возникающим за счёт явления электромагнитной индукции), или комбинацией этих двух случаев.

Потенциальное электрическое поле имеет интегральные кривые, которые начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах или уходят в бесконечность. Согласно закону Кулона сила, действующая на пробный заряд будет направлена по касательной к интегральной кривой[4][5]. Силовые линии вихревого поля всегда замкнуты, их густота в точке пространства определена значением производной по времени магнитной индукции в этой точке, а направление определяется правилом буравчика.

В опытах силовые линии электрического поля могут быть наглядно визуализированы при помощи суспензий диэлектрических порошков в диэлектрических жидкостях.

Силовые линии магнитного поля магнита, визуализированные железными опилками

Согласно уравнениям Максвелла:

${\displaystyle \mathrm {div} ~\mathbf {B} =0}$ и

${\displaystyle \mathrm {rot} ~\mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {j} ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {B} }$ — напряжённость магнитного поля;

${\displaystyle \mathbf {j} }$ — вектор плотности электрического тока.

В природе неизвестны магнитные монополи, поэтому магнитное поле может возникать лишь в результате изменения вектора электрической индукции (первое слагаемое в правой части 2-го уравнения) и протекания электрического тока (второе слагаемое в правой части 2-го уравнения).

Первое уравнение гласит, что дивергенция магнитного поля всегда равна нулю, то есть является вихревым и поэтому его силовые линии (линии магнитной индукции) всегда замкнуты, или иными словами магнитное поле не имеет ни источников, ни стоков.

В опытах силовые линии магнитного поля могут быть наглядно визуализированы при помощи ферромагнитных порошков, либо суспензий их в жидкости.

В гравитационном поле нет источников, силовые линии гравитационного поля начинаются в бесконечности и заканчиваются на массивных телах.

Гравитационное поле неподвижной системы тел в ньютоновском приближении является потенциальным.

Если тела совершают движение, например, вращаются друг вокруг друга как кратные звёзды, то гравитационное поле в инерциальной системе отсчёта перестаёт быть потенциальным.

Трубка тока в жидкости или газе

Силовые линии векторного поля, описывающие мгновенное поле скоростей частиц жидкости или газа, называют линиями тока. Совокупность линий тока изображает картину течения в некоторый момент времени. Для случая стационарного течения линии тока совпадают с траекториями частиц.

Система дифференциальных уравнений, описывающих линию тока:

${\displaystyle {\frac {\partial x}{F_{x}}}={\frac {\partial y}{F_{y}}}={\frac {\partial z}{F_{z}}}}$

где ${\displaystyle F_{x},\ F_{y},\ F_{z},\ }$ — компоненты вектора поля скоростей;

${\displaystyle x,\ y,\ z,\ }$ — координаты.

Линии тока течения жидкостей и газов могут быть визуализированы с помощью взвешенных частиц, внесённых в поток, например, алюминиевой пудры в жидкости или пыли в газе[6].

Пучок линий тока, выходящие из замкнутой кривой, не лежащей ни одной своей частью вдоль любой линии тока, образуют трубку тока.

Также линии тока описывают в сплошной среде перемещение электрических зарядов — токи в электрических проводах и потоки энергии в полях вектора Умова — Пойнтинга.

По заданному векторному полю ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ и заданной радиусом-вектором ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ точке можно построить интегральную линию, проходящую через эту точку. Единичный вектор ${\displaystyle \mathbf {t} }$, касательный линии и совпадающий по направлению с вектором поля выражается:

${\displaystyle \mathbf {t} =\mathbf {F} (\mathbf {r} _{\text{0}})/|\mathbf {F} (\mathbf {r} _{\text{0}})|.}$

При перемещении на небольшое расстояние ${\displaystyle ds}$ вдоль направления поля можно найти новую точку на линии:

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{1}}=\mathbf {r} _{\text{0}}+{\mathbf {F} (\mathbf {r} _{\text{0}}) \over |\mathbf {F} (\mathbf {r} _{\text{0}})|}ds.}$

Продолжая подобный процесс получаем итерационную формулу для точек, принадлежащих линии:

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{i+1}}=\mathbf {r} _{\text{i}}+{\mathbf {F} (\mathbf {r} _{\text{i}}) \over |\mathbf {F} (\mathbf {r} _{\text{i}})|}ds.}$

Проведение кривой через полученные точки дост приближённое изображение искомой линии. Если уменьшать приращение длины ${\displaystyle ds}$ и увеличивать число шагов итерации то точность нахождения линии будет увеличиваться и может быть аппроксимирована сколь угодно точно. Назначая приращение ${\displaystyle ds}$ отрицательным, можно построить линию в обратную сторону от заданной точки.

• Силовые линии — Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.
• Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). — Prentice Hall, 1998. — P. 65–67 and 232. — ISBN 978-0-13-805326-0.