Гравитационный потенциал

Движение частицы в гравитационном поле в классической механике, может определяться функцией Лагранжа, имеющей в инерциальной системе отсчета вид:

${\displaystyle L={\frac {m{\dot {q}}^{2}}{2}}-m\varphi ,}$

где: ${\displaystyle m}$ — масса частицы, ${\displaystyle q}$ — обобщённая координата частицы, ${\displaystyle \varphi }$ — потенциал гравитационного поля.

Подставляя выражение для лагранжиана ${\displaystyle L}$ в уравнения Лагранжа:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}=0,}$

получаем уравнения движения

${\displaystyle {\ddot {q}}=-\operatorname {grad} \varphi .}$

Уравнения движения частицы в гравитационном поле в классической механике не содержат массы ${\displaystyle m}$ или другой величины, характеризующей частицу. Этот факт является отражением принципа эквивалентности сил гравитации и инерции.

При этом, следует понимать, что растущая - при движении пробной массы в гравитационном поле - функция Лагранжа, являющаяся разностью кинетической и потенциальной энергии - входит в противоречие с законом сохранения импульса, если рассматривать инерционное движение пробной массы - против силы тяготения гравитационной массы (то есть - с увеличением, а не уменьшением расстояния от центра масс): -в такой физической ситуации вторая производная функции Лагранжа по времени и скорости уже не может быть равна первой производной той же функции Лагранжа - по расстоянию от центра гравитационной массы.

Также следует понимать, что вышепоказанное уравнение для производных функции Лагранжа - содержит ещё одно - уже математическое - допущение: произведение дифференциалов скорости и времени - является бесконечно малой более высокого порядка, чем дифференциал координаты пути. Даже с учётом двойного дифференциала самой функции Лагранжа, если расписать функцию скорости , как производную координаты по времени - после сокращения дифференциалов времени в числителе и знаменателе левой части уравнения - вторая производная функции Лагранжа по координате - окажется равной первой производной по координате той же функции Лагранжа., что является весьма серьёзным допущением, ограничивающим область применения - самой функции Лагранжа.

В том числе, для гравитационного потенциала.

Гравитационный потенциал, создаваемый точечной массой ${\displaystyle M}$, расположенной в начале координат, равен

${\displaystyle \varphi ({\vec {r}})=-{\frac {GM}{r}}+C,}$

где ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная, ${\displaystyle r}$ — расстояние от начала координат (модуль радиус-вектора ${\displaystyle {\vec {r}}}$). Через ${\displaystyle C}$ обозначена произвольная константа, опускаемая при выборе ${\displaystyle \varphi =0}$ на бесконечности.

Эта же формула справедлива для гравитационного потенциала вне любого тела со сферически-симметричным распределением массы. Примером может быть однородный шар или тонкая сфера. (Примечание: внутри сферы потенциал равен потенциалу сферы ${\displaystyle -GM/a}$, где ${\displaystyle a}$ — радиус сферы).

В общем случае, гравитационный потенциал, создаваемый произвольным распределением массы (плотность ${\displaystyle \rho }$ зависит от координат произвольным образом), удовлетворяет уравнению Пуассона

${\displaystyle \Delta \varphi ({\vec {r}})=4\pi G\rho ({\vec {r}}),}$

где ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа. Решение такого уравнения имеет вид

${\displaystyle \varphi ({\vec {r}})=-G\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho ({\vec {r}}^{\prime })dV^{\prime }}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}+C.}$

Здесь ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор точки, в которой ищется потенциал, а ${\displaystyle {\vec {r}}^{\prime }}$ — радиус-вектор бесконечно малого элемента объёма ${\displaystyle dV^{\prime }}$ с плотностью вещества ${\displaystyle \rho ({\vec {r}}^{\prime })}$; интегрирование выполняется по всему объёму тел, создающих поле.

Потенциальная энергия частицы, находящейся в гравитационном поле в точке ${\displaystyle {\vec {r}}}$, равна потенциалу поля в этой точке, умноженному на массу частицы ${\displaystyle m}$:

${\displaystyle U({\vec {r}})=m\varphi ({\vec {r}}).}$

Под гравитационной энергией системы тел (дискретных частиц) понимается потенциальная энергия, обусловленная взаимным гравитационным тяготением этих частиц. Она равна половине суммы потенциальных энергий отдельных частиц; деление на два позволяет избежать двукратного учёта одних и тех же взаимодействий. Например, для пары материальных точек на расстоянии ${\displaystyle l}$ друг от друга

${\displaystyle U_{g}={\frac {1}{2}}\left[U_{1}+U_{2}\right]={\frac {1}{2}}\left[-G{\frac {m_{1}m_{2}}{l}}-G{\frac {m_{2}m_{1}}{l}}\right]=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{l}};}$

здесь ${\displaystyle U_{1}}$ — потенциальная энергия первой точки в поле второй, а ${\displaystyle U_{2}}$ — второй в поле первой.

Аналогично, для гравитационной энергии непрерывного распределения масс справедливо выражение:

${\displaystyle U_{g}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho ({\vec {r}})\varphi ({\vec {r}})dV,}$

где ${\displaystyle \rho }$ — плотность массы, ${\displaystyle \varphi }$ — гравитационный потенциал, вычисляемый по формулам из предыдущего раздела, ${\displaystyle V}$ — объём тела. Так, гравитационная энергия шара массой ${\displaystyle m}$ и радиуса ${\displaystyle a}$, с равномерным распределением плотности, составляет ${\displaystyle U_{g}=-3Gm^{2}/5a}$.

В целях вычисления гравитационного потенциала произвольной системы масс на больших расстояниях от неё можно произвести разложение:

${\displaystyle \varphi =-G\left({\frac {M}{R_{0}}}+{\frac {1}{6}}D_{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}}{\partial {X_{\alpha }}\partial {X_{\beta }}}}{\frac {1}{R_{0}}}+...\right),}$

где ${\displaystyle M=\int \rho dV}$ — полная масса системы, а величины:

${\displaystyle D_{\alpha \beta }=\int \rho (3x_{\alpha }x_{\beta }-r^{2}\delta _{\alpha \beta })dV}$

формируют тензор квадрупольного момента масс. Он связан с обычным тензором моментов инерции

${\displaystyle J_{\alpha \beta }=\int \rho (r^{2}\delta _{\alpha \beta }-x_{\alpha }x_{\beta })dV}$

очевидными соотношениями

${\displaystyle D_{\alpha \beta }=J_{\gamma \gamma }\delta _{\alpha \beta }-3J_{\alpha \beta }.}$

Возможно также разложение по сферическим функциям, применяющееся, в частности, при анализе гравитационных полей космических тел:

${\displaystyle \varphi =-{\frac {GM}{r}}\left(1-\sum _{n=2}^{\infty }J_{n}\left({\frac {R}{r}}\right)^{n}P_{n}(\sin \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {R}{r}}\right)^{n}(C_{nk}\cos(k\lambda )+S_{nk}\sin(k\lambda ))P_{n}^{k}(\sin \theta )\right).}$

Здесь ${\displaystyle r,\theta ,\lambda }$ — сферические координаты точки наблюдения, ${\displaystyle P_{n}}$ — полином Лежандра n-го порядка, ${\displaystyle P_{n}^{k}}$ — присоединённые полиномы Лежандра, ${\displaystyle J_{n},C_{nk},S_{nk}}$ — гравитационные моменты[1].

В общей теории относительности уравнения движения материальной точки в гравитационном поле имеют вид:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{ds^{2}}}+\Gamma _{rs}^{i}{\frac {dx^{r}}{ds}}{\frac {dx^{s}}{ds}}=0,}$

где ${\displaystyle \Gamma _{rs}^{i}={\frac {g^{ik}}{2}}\left({\frac {dg_{kr}}{dx^{s}}}+{\frac {dg_{ks}}{dx^{r}}}-{\frac {dg_{rs}}{dx^{k}}}\right)}$ — символы Кристоффеля. Здесь ${\displaystyle g_{ik}}$ — метрический тензор, характеризующий гравитационное поле в общей теории относительности.

Из сравнения этих уравнений движения с уравнениями движения ньютоновской механики ${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {d\varphi }{dx^{i}}}}$ видно, что в общей теории относительности роль гравитационного потенциала ${\displaystyle \varphi }$ играет метрический тензор.

В случае скоростей, малых по сравнению со скоростью света, и слабых постоянных гравитационных полей уравнения движения принимают вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-c^{2}\Gamma _{44}^{i}}$

для пространственных координат ${\displaystyle i=1,2,3}$ и ${\displaystyle x^{4}=ct}$ для временной координаты. Пренебрегая производными по времени, вместо ${\displaystyle \Gamma _{44}^{i}}$ можно подставить ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {dg_{44}}{dx^{i}}}}$ и таким образом получить ньютоновские уравнения движения

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {d\varphi }{dx^{i}}}.}$

Здесь гравитационный потенциал ${\displaystyle \varphi }$ и компонента метрического тензора ${\displaystyle g_{44}}$ связаны соотношениями

${\displaystyle \varphi =-{\frac {1}{2}}c^{2}(g_{44}+1)}$, ${\displaystyle g_{44}=-\left(1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}\right).}$

В силу того, что элемент мировой линии покоящихся часов равен ${\displaystyle ds^{2}=g_{44}(dx^{4})^{2}}$, а время ${\displaystyle t={\frac {x^{4}}{c}}}$, замедление хода часов в гравитационном поле будет

${\displaystyle t_{g}={\frac {t}{\sqrt {-g_{44}}}}={\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {2\varphi }{c^{2}}}}}}\approx t\left(1-{\frac {\varphi }{c^{2}}}\right).}$

Относительное замедление хода времени в точке с меньшим значением гравитационного потенциала по сравнению с временем в точке с большим значением гравитационного потенциала равно разности гравитационных потенциалов в этих точках, делённой на квадрат скорости света.

• Классическая теория тяготения Ньютона

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, учебное пособие для вузов, в 10 т. / т. 1, «Механика», 5-е изд., стереотип., М.: Физматлит.— 2002.— 224 с., ISBN 5-9221-0055-6 (т. 1), гл. 1 «Уравнения движения», п. 2 «Принцип наименьшего действия», с. 10—14;
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, учебное пособие для вузов, в 10 т. / т. 2, «Теория поля», 8-е изд., стереотип., М.: Физматлит.— 2001.— 536 с., ISBN 5-9221-0056-4 (т. 2), гл. 10 «Частица в гравитационном поле», п. 81 «Гравитационное поле в нерелятивистской механике», с. 304—306; гл. 12 «Поле тяготеющих тел», п. 99 «Закон Ньютона», с. 397—401;
• Вейнберг С. Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности, пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова, под ред. Я. А. Смородинского, «Платон», 2000, ISBN 5-80100-306-1, ч. 2 «Общая теория относительности», гл. 3 «Принцип эквивалентности», п. 4 «Ньютоновское приближение», с. 92-93;
• Холшевников К. В., Никифоров И. И. Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах: Учебное пособие. — С-Пб., 2008.— 72 с., ББК 22.6.
• Жарков В. Н. Внутреннее строение Земли и планет. — М.: Наука, 1978. — 192 с.