Обобщённые координаты

Для системы из N частиц в трёхмерном вещественном координатном пространстве, вектор положения каждой частицы можно записать тройками чисел в декартовых координатах;

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})\,,\quad \mathbf {r} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})\,,\ldots \,,\mathbf {r} _{N}=(x_{N},y_{N},z_{N})\,.}$

Любые векторы можно обозначить как r_k, где k = 1, 2, …, N обозначает частицу. Голономная связь — это уравнение ограничения для частицы k[4][nb 1]

${\displaystyle f(\mathbf {r} _{k},t)=0}$

которая связывает все 3 пространственные координаты частицы вместе, так что они не являются независимыми. Ограничения могут изменяться со временем, поэтому время t появится явно в уравнения связи. В любой момент времени, когда t является константой, одна координата будет функцией от других координат, например, если x_{k K} и z_k заданы, то также задана и y_k. Одно уравнение связи считается одной связью. Для C связей будет C уравнений связи. Не обязательно одно уравнение связи соответствует каждой частицы, и если нет ограничений в системе, то не будет никаких уравнений связи.

Пока конфигурация системы определяется числом 3N, но C координат можно устранить, по одной из координат на каждое уравнение связи. Число независимых координат n = 3N − C. (При размерности D исходной конфигурации потребуется - ND координат, и сокращение согласно связям приведёт к n = ND − C). Идеально использовать минимальное число координат, необходимых для определения конфигурации всей системы воспользовавшись уравнениями связей. Эти величины известны как обобщённые координаты в данном контексте обозначаются как q_j(t). Удобно собирать их в n-кортеж

${\displaystyle \mathbf {q} (t)=(q_{1}(t),q_{2}(t),\ldots ,q_{n}(t))}$

которая является точкой в конфигурационном пространстве системы. Они все независимы друг от друга, и каждая является функцией времени. Геометрически они могут быть длинами вдоль прямой линии или длинами дуг вдоль кривых линий, или углами; не обязательно декартовыми координатами или другими стандартными ортогональными координатами. Каждой степени свободы соответствует одна обобщённая координата, так что число обобщённых координат равно числу степеней свободы, n. Степени свободы соответствует одна величина, соответствующая изменению конфигурации системы, например угол маятника, или длина дуги, пройденой бусинкой на проволоке.

Если можно найти из уравнений связи столько независимых переменных сколько есть степеней свободы, то их можно использовать в качестве обобщённых координат[5]. Положение вектора r_k частицы k является функцией всех n обобщённых координат и времени,[6][7][8][5]

${\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} (t),t)\,,}$

и обобщённые координаты можно рассматривать как параметры, связанные со связями.

Соответствующие производные по времени от q называются обобщёнными скоростями,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=({\dot {q}}_{1}(t),{\dot {q}}_{2}(t),\ldots ,{\dot {q}}_{n}(t))}$

(каждая точка обозначает одну производную по времени). Вектор скорости v_k является полной производной r_k по времени

${\displaystyle \mathbf {v} _{k}={\dot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial t}}\,.}$

и зависит от обобщённых скоростей и координат. Поскольку мы вольны указать начальные значения обобщённых координат и скоростей отдельно, то обобщённые координаты q_j и скорости dq_j/dt рассматриваются как независимые переменные.

Механическая система может включать в себя ограничения на обобщённые координаты и их производные. Ограничения этого типа известны как неголономные. Неголономные связи первого порядка имеют вид

${\displaystyle g(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=0\,,}$

Примером таких связей являются катящееся колесо или режущая кромка ножа, что ограничивает направление вектора скорости. Неголономные связи могут включать производные высоких порядков, таких как обобщённые ускорения.

Полная кинетическая энергия системы — это энергия движения системы, определяется как[9]

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\,,}$

в которой · обозначает скалярное произведение. Кинетическая энергия является функцией только скоростей v_k, а не координат r_k. Напротив важное наблюдение^{[уточнить]}[10]

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}+\sum _{i=1}^{n}\left(2{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial t}}\right){\dot {q}}_{i}+\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial t}}\right)\,,}$

показывает, что кинетическая энергия является в общем случае функцией обобщённых скоростей, координат и времени, если связи также меняются со временем, так что T = T(q, dq/dt, t).

В случае, если связи не зависят от времени, тогда все частные производные по времени равны нулю, а кинетическая энергия не имеет зависимости от времени и является однородной функцией степени 2 обобщённых скоростей;

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\,.}$

это выражение эквивалентно квадрату элемента длины траектории для частицы k,

${\displaystyle ds_{k}^{2}=d\mathbf {r} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right)dq_{i}dq_{j}\,,}$

делённому на квадрат дифференциала времени, dt², что даёт квадрат скорости частицы k. Таким образом, для времененезависимых связей достаточно знать элемент длины, чтобы быстро получить кинетическую энергию частицы и, следовательно, Лагранжиан.[11]

Часто используемые элементы длины в 2-мерных полярных координатах (r, θ) —

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\,,}$

в 3-мерных цилиндрических координатах (r, θ, Z) —

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2}\,,}$

в 3-мерных сферических координатах (r, θ, φ) —

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\,.}$

Обобщённый импульс «канонически сопряжённый» координате q_i определяется

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$

Если Лагранжиан L никак не зависит от некоторой координаты q_i, тогда из уравнения Эйлера — Лагранжа получается, что соответствующий обобщённый импульс будет сохраняться, потому что производная этой координаты по времени равна нулю, поэтому импульс должен быть константой движения:

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0\,.}$

Динамическая модель простого маятника.

Использование связи обобщённых и декартовых координат для описания движения механической системы можно проиллюстрировать на примере ограниченного движения математического маятника[12][13].

Простой маятник состоит из массы M подвешенной к точке поворота так, что она вынуждена двигаться по окружности радиуса L. Положение массы определяется координатами вектора r=(x, y), измеренными в плоскости окружности, где y соответствует вертикальному направлению. Координаты x и y связаны уравнением окружности

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,}$

что ограничивает движение M. Это уравнение также содержит связь для компонент скорости,

${\displaystyle {\dot {f}}(x,y)=2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=0.}$

Теперь введём параметр θ, который определяет угловое положение M как отклонение от вертикального направления. Координаты x и y, определяются как

${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y)=(L\sin \theta ,-L\cos \theta ).}$

Применение θ для определения конфигурации этой системы позволяет избежать ограничений, заложенных в уравнение окружности.

Сила тяжести, действующая на тело массы M, задана в декартовых координатах,

${\displaystyle \mathbf {F} =(0,-mg),}$

где g — ускорение силы тяжести.

Виртуальная работа силы тяжести действующей на тело массы M, во время его движения по траектории r даётся

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .}$

Вариации δr вычисляется в терминах координат x и y, или в терминах параметра θ,

${\displaystyle \delta \mathbf {r} =(\delta x,\delta y)=(L\cos \theta ,L\sin \theta )\delta \theta .}$

Таким образом, виртуальная работа задаётся

${\displaystyle \delta W=-mg\delta y=-mgL\sin \theta \delta \theta .}$

коэффициент δy — y-проекция приложенной силы. Аналогичным образом, коэффициент δθ известен как обобщённая сила вдоль обобщённой координаты θ, задаётся

${\displaystyle F_{\theta }=-mgL\sin \theta .}$

Для полноты анализа рассмотрим кинетическую энергию T массы, используя скорость,

${\displaystyle \mathbf {v} =({\dot {x}},{\dot {y}})=(L\cos \theta ,L\sin \theta ){\dot {\theta }},}$

тогда,

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})={\frac {1}{2}}mL^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

Уравнения Лагранжа для маятника в терминах координат x и y заданы,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}=F_{x}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial x}},\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {y}}}}-{\frac {\partial T}{\partial y}}=F_{y}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

Отсюда получаем три уравнения

${\displaystyle m{\ddot {x}}=\lambda (2x),\quad m{\ddot {y}}=-mg+\lambda (2y),\quad x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,}$

с тремя неизвестными, x, y и λ.

С помощью параметра θ, уравнения Лагранжа принимают вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\frac {\partial T}{\partial \theta }}=F_{\theta },}$

который записываются в виде,

${\displaystyle mL^{2}{\ddot {\theta }}=-mgL\sin \theta ,}$

или

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0.}$

Эта формулировка даёт только одно уравнение, потому что есть только один параметр и отсутствует уравнение связи.

Это показывает, что параметр θ является обобщённой координатой, которую можно использовать в декартовых координатах x и y, для анализа движения маятника.

Двойной маятник

Преимущества обобщённых координат становятся очевидными при анализе двойного маятника. Для двух масс m_i, i=1,2, пусть r_i=(x_i, y_i), i=1,2 нужно определить их траектории. Эти векторы удовлетворяют двум уравнениям связи,

${\displaystyle f_{1}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{1}-L_{1}^{2}=0,\quad f_{2}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\cdot (\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-L_{2}^{2}=0.}$

Система уравнений Лагранжа двойного маятника состоит из шести уравнений с четырьмя декартовыми координатами x_i, y_i, i=1,2 и двух множителей Лагранжа λ_i, i=1,2, которые возникают из двух уравнений связи.

Теперь введём обобщённые координаты θ_i, i=1,2, определяющие угловое отклонение каждой массы двойного маятника от вертикального направления. В этом случае мы имеем

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1}),\quad \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1})+(L_{2}\sin \theta _{2},-L_{2}\cos \theta _{2}).}$

Сила тяжести, действующая на массы определяется по следующей формуле:

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=(0,-m_{1}g),\quad \mathbf {F} _{2}=(0,-m_{2}g)}$

где g — ускорение силы тяжести. Следовательно, виртуальная работа силы тяжести на две массы, во время их движения вдоль траектории r_i, i=1,2 даётся

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \delta \mathbf {r} _{1}+\mathbf {F} _{2}\cdot \delta \mathbf {r} _{2}.}$

Вариации δr_i, i=1,2 задаются

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1},\quad \delta \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1}+(L_{2}\cos \theta _{2},L_{2}\sin \theta _{2})\delta \theta _{2}}$

Таким образом, виртуальная работа задаётся

${\displaystyle \delta W=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1}\delta \theta _{1}-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}\delta \theta _{2},}$

и обобщённые силы

${\displaystyle F_{\theta _{1}}=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},\quad F_{\theta _{2}}=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.}$

Для вычисления кинетической энергии системы

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m_{1}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+{\frac {1}{2}}m_{2}\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}L_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+m_{2}L_{1}L_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1}){\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}.}$

Уравнения Лагранжа в неизвестных обобщённых координатах θ_i, i=1,2, даются[14]

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{2}}}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},}$

и

${\displaystyle m_{2}L_{2}^{2}{\ddot {\theta }}_{2}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{1}}}^{2}\sin(\theta _{2}-\theta _{1})=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.}$

Использование обобщённых координат θ_i, i=1,2 представляет собой альтернативу формулировке динамики двойного маятника в декартовых координатах.