Математический маятник

В общем случае решение ДУ с начальными условиями для маятника может быть получено численно. Варианты движения (в случае, если маятник — это материальная точка на лёгком стержне), качественно, представлены на анимации. В каждом окне вверху показана зависимость угловой скорости ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ от угла ${\displaystyle \theta }$. По мере нарастания размаха поведение маятника всё сильнее отклоняется от режима гармонических колебаний.

• 
  Маятник висит
• 
  Малые колебания (размах 45°)
• 
  Колебания с размахом 90°
• 
  Колебания с размахом 135°
• 
  Колебания с размахом 170°
• 
  Фиксация в верхнем положении
• 
  Движение близкое к сепаратрисе
• 
  Вращение маятника

Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия, когда уместна замена ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$, называется гармоническим уравнением:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+\omega _{0}^{2}\theta =0}$,

где ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {g/L}}}$ ― положительная константа, определяемая только из параметров маятника и имеющая смысл собственной частоты колебаний. Кроме того, может быть осуществлён переход к переменной «горизонтальная координата» ${\displaystyle x=L\sin \theta \approx L\theta }$ (ось ${\displaystyle x}$ лежит в плоскости качания и ортогональна нити в нижней точке):

${\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0}$.

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону[2]:

${\displaystyle x=A\sin(\omega _{0}t+\alpha )}$,

где ${\displaystyle A}$ — амплитуда колебаний маятника, ${\displaystyle \alpha }$ — начальная фаза колебаний.

Если пользоваться переменной ${\displaystyle x}$, то при ${\displaystyle t=0}$ необходимо задать координату ${\displaystyle x_{0}}$ и скорость ${\displaystyle v_{x0}}$, что позволит найти две независимые константы ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \alpha }$ из соотношений ${\displaystyle x_{0}=A\sin \alpha }$ и ${\displaystyle v_{x0}=A\omega _{0}\cos \alpha }$.

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\varkappa \cdot \operatorname {sn} (\omega _{0}t;\varkappa ),}$

где ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ — это синус Якоби. Для ${\displaystyle \varkappa <1}$ он является периодической функцией, при малых ${\displaystyle \varkappa }$ совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр ${\displaystyle \varkappa }$ определяется выражением

${\displaystyle \varkappa ={\frac {\varepsilon +\omega _{0}^{2}}{2\omega _{0}^{2}}},\quad \varepsilon ={\frac {E}{mL^{2}}}}$.

Период колебаний нелинейного маятника составляет

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\Omega }},\quad \Omega ={\frac {\pi }{2}}{\frac {\omega _{0}}{K(\varkappa )}}}$,

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

${\displaystyle T=T_{0}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\dots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)+\dots \right\}}$

где ${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$ — период малых колебаний, ${\displaystyle \theta _{0}}$ — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈ 60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

${\displaystyle T=T_{0}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)}$.

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года[3]:

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{M{\big (}\cos(\theta _{0}/2){\big )}}}{\sqrt {\frac {L}{g}}}}$,

где ${\displaystyle M(s)}$ — арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и ${\displaystyle s}$.

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.