Гармонический осциллятор

Пусть x — смещение материальной точки относительно её положения равновесия, а F — действующая на точку возвращающая сила любой природы вида

${\displaystyle F=-kx}$,

где k = const. Тогда, используя второй закон Ньютона, можно записать ускорение как

${\displaystyle a=-{\frac {k}{m}}x}$.

Обозначая ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=k/m}$ и заменяя a на вторую производную от координаты по времени ${\displaystyle {\ddot {x}}}$, имеем

${\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0}$.

Это дифференциальное уравнение описывает поведение консервативного гармонического осциллятора. Величину ${\displaystyle \omega _{0}}$ называют циклической частотой. (Имеется в виду круговая частота, измеряющаяся в радианах за секунду. Чтобы перевести её в частоту, выражающуюся в герцах, надо разделить на ${\displaystyle 2\pi }$.)

Будем искать решение этого уравнения в виде[1]

${\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)}$.

Здесь ${\displaystyle A}$ — амплитуда, ${\displaystyle \omega }$— частота колебаний, ${\displaystyle \varphi }$ — начальная фаза.

Подставляем в дифференциальное уравнение и получаем:

${\displaystyle {\ddot {x}}(t)=-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi )}$,

${\displaystyle -A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi )+\omega _{0}^{2}A\sin(\omega t+\varphi )=0}$.

Амплитуда сокращается. Значит, она может иметь любое значение (в том числе и нулевое — это означает, что материальная точка покоится в положении равновесия). На синус также можно сократить, так как равенство должно выполняться в любой момент времени t. Таким образом, остаётся условие для частоты колебаний:

${\displaystyle -\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}=0,}$

${\displaystyle \omega =\pm \omega _{0}.}$

Отрицательную частоту можно отбросить, так как произвол в выборе здесь знака покрывается произволом выбора начальной фазы.

Общее решение уравнения записывается в виде:

${\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega _{0}t+\varphi \right),}$

где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \varphi }$ — произвольные постоянные. Эта запись исчерпывает все решения дифференциального уравнения, так как позволяет удовлетворить любым начальным условиям.

Итого, консервативный гармонический осциллятор может совершать чисто гармонические колебания с частотой, равной его собственной частоте, с амплитудой любой величины и с произвольной начальной фазой.

Простое гармоническое движение. На этой анимированной картинке по вертикальной оси отложена координата частицы (x в формуле), а по горизонтальной оси отложено время (t).

Движение, совершаемое консервативным гармоническим осциллятором, носит название простого гармонического движения. Это движение не является ни вынужденным, ни затухающим.

Оно периодическое: тело колеблется с частотой ω₀ около положения равновесия по синусоидальному закону. Каждое последующее колебание такое же, как и предыдущее; период, частота и амплитуда колебаний остаются постоянными.

Учитывая, что ${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}}$, получим

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$,

и, поскольку ${\displaystyle T_{0}=1/f_{0}}$, где ${\displaystyle T_{0}}$ — период колебаний,

${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$.

Эти формулы показывают, что период и частота не зависят от амплитуды и начальной фазы движения.

Частота движения определяется характерными свойствами системы (например, массой движущегося тела), в то время как амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями — координатой и скоростью тела в момент начала колебаний. Кинетическая и потенциальная энергии системы также зависят от этих свойств и условий.

Положение, скорость и ускорение простого гармонического движения на фазовой плоскости

Используя приёмы дифференциального исчисления, можно получить скорость и ускорение материальной точки как функции времени:

${\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=A\omega _{0}\cos(\omega _{0}t+\varphi )}$,

${\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega _{0}^{2}\sin(\omega _{0}t+\varphi )}$.

Кинетическая энергия записывается в виде

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}mv^{2}(t)={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{0}t+\varphi )}$,

а потенциальная энергия составляет

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}(t)={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega _{0}t+\varphi )}$.

Тогда получается, что полная энергия

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}kA^{2}}$

имеет постоянное значение. Это отражает «консервативность» осциллятора, то есть отсутствие энергетических потерь.

Простое гармоническое движение можно рассматривать как математическую модель различных видов движения, таких, например, как колебание пружины. Другими случаями, которые могут приближённо рассматриваться как простое гармоническое движение, являются движение маятника и вибрации молекул.

Простое гармоническое движение является основой некоторых способов анализа более сложных видов движения. Одним из таких способов является способ, основанный на преобразовании Фурье, суть которого сводится к разложению более сложного вида движения в ряд простых гармонических движений.

Любая система, в которой происходит простое гармоническое движение, обладает двумя ключевыми свойствами:

• когда система выведена из состояния равновесия, должна существовать возвращающая сила, стремящаяся вернуть систему в равновесие;
• возвращающая сила должна в точности или приближённо быть пропорциональна перемещению.

Ниже представлено несколько примеров.

Горизонтальная система груз—пружина

Положение, скорость и ускорение гармонического осциллятора

Типичным примером системы, в которой происходит простое гармоническое движение, является идеализированная система груз—пружина, в которой груз присоединён к пружине и находится на горизонтальной поверхности. Если пружина не сжата и не растянута, то на груз не действует никаких переменных сил и он находится в состоянии механического равновесия. Однако, если груз вывести из положения равновесия, пружина деформируется и с её стороны будет действовать сила, стремящаяся вернуть груз в положение равновесия. В случае системы груз—пружина такой силой является сила упругости пружины, которая подчиняется закону Гука:

${\displaystyle F=-kx}$,

где k имеет вполне конкретный смысл — это коэффициент жёсткости пружины.

Однажды смещённый груз подвергается действию возвращающей силы, ускоряющей его и стремящейся вернуть в начальную точку, то есть в положение равновесия. По мере того, как груз приближается к положению равновесия, возвращающая сила уменьшается и стремится к нулю. Однако в положении x = 0 груз обладает некоторым количеством движения (импульсом), приобретённым благодаря действию возвращающей силы. Поэтому груз проскакивает положение равновесия, начиная снова деформировать пружину (но уже в противоположном направлении). Возвращающая сила будет стремиться замедлить его, пока скорость не станет равной нулю; и сила вновь будет стремиться вернуть груз в положение равновесия.

Если нет потерь энергии, груз будет колебаться как описано выше; такое движение является периодическим.

Вертикальная система груз—пружина

Простое гармоническое движение, показанное одновременно в реальном пространстве и в фазовом пространстве. Real Space — реальное пространство; Phase Space — фазовое пространство; velocity — скорость; position — положение (позиция).

В случае вертикально подвешенного на пружине груза, наряду с силой упругости, действует сила тяжести, то есть суммарно сила составит

${\displaystyle F=-kx-mg}$.

Если сделать замену переменной, чтобы оперировать не величиной ${\displaystyle x}$, а величиной ${\displaystyle X=x+mg/k}$, то уравнение движения примет вид, идентичный случаю горизонтальной геометрии, только для переменной ${\displaystyle X}$.

Колебания будут происходить с той же частотой ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$. Однако, если в горизонтальном случае равновесию отвечало состояние недеформированной пружины, то в вертикальном варианте пружина в равновесии будет растянута. Зависимости частоты от величины ускорения свободного падения ${\displaystyle g}$ при этом нет; ${\displaystyle g}$ влияет лишь на сдвиг положения равновесия ${\displaystyle mg/k}$.

Измерения частоты (или периода) колебаний груза на пружине используются в устройствах для определения массы тела — так называемых массметрах, применяемых на космических станциях, когда весы не могут функционировать из-за невесомости.

Универсальное движение по окружности

Движение по кругу и гармоническое движение

Простое гармоническое движение в некоторых случаях можно рассматривать как одномерную проекцию универсального движения по окружности.

Если объект движется с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиуса r, центром которой является начало координат плоскости x − y, то такое движение вдоль каждой из координатных осей является простым гармоническим с амплитудой r и круговой частотой ω.

Груз как простой маятник

Простое гармоническое движение маятника без затухания.

В приближении малых углов движение простого маятника является близким к простому гармоническому. Период колебаний такого маятника, прикреплённого к стержню длиной ℓ, даётся формулой

${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$.

где g — ускорение свободного падения. Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но зависит от g, поэтому, при той же самой длине маятника, на Луне он будет качаться медленнее, так как там слабее гравитация и меньше значение ускорения свободного падения.

Указанное приближение является корректным только при небольших углах отклонения, поскольку выражение для углового ускорения пропорционально синусу координаты:

${\displaystyle -\ell mg\sin \theta =I{\ddot {\theta }}}$,

где I — момент инерции; в данном случае I = m ℓ ². Небольшие углы реализуются в условиях, когда амплитуда колебаний значительно меньше длины стержня. Наличие минуса отражает тот факт, что сила стремится приблизить тело к положению равновесия.

Когда угол θ мал, можно считать, что sin θ ≈ θ, и выражение принимает вид:

${\displaystyle -\ell mg\theta =I{\ddot {\theta }}}$,

что делает угловое ускорение прямо пропорциональным углу θ, а это удовлетворяет определению простого гармонического движения.

При рассмотрении осциллятора с затуханием за основу берётся модель консервативного осциллятора, в которую добавляется сила вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и прямо пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

${\displaystyle F=-kx-\alpha v.}$

Используя второй закон Ньютона, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

${\displaystyle {\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.}$

Здесь введены обозначения:

• ${\displaystyle 2\gamma =\alpha /m}$. Коэффициент ${\displaystyle \gamma }$ носит название постоянной затухания. Он имеет размерность частоты.
• ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k \over m}}}$. Величину ${\displaystyle \omega _{0}}$ называют собственной частотой системы. Она тоже имеет размерность частоты.

Решение распадается на три случая.

• При малом трении (${\displaystyle \gamma <\omega _{0}}$) общее решение записывается в виде:

${\displaystyle x(t)=Ae^{-\gamma t}\sin(\omega _{f}t+\varphi ),}$

где ${\displaystyle \omega _{f}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$ — частота свободных колебаний.

• Затухание ${\displaystyle \gamma =\omega _{0}}$ называют критическим. Начиная с такого значения показателя затухания, осциллятор будет совершать так называемое неколебательное движение. В граничном случае движение происходит по закону:

${\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^{-\gamma t}.}$

• При сильном же трении ${\displaystyle \gamma >\omega _{0}}$ решение выглядит следующим образом:

${\displaystyle x(t)=Ae^{-\beta _{1}t}+Be^{-\beta _{2}t},}$

где ${\displaystyle \beta _{1,2}=\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.}$

Отклик линейного осциллятора с затуханием на ступенчатое возмущение при 3 разных степенях затухания ${\displaystyle \mu }$:
${\displaystyle \mu =\omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$;
${\displaystyle \zeta =1/2Q}$;
${\displaystyle Q}$ — добротность.
Нормированное время в единицах ${\displaystyle \tau _{n}=1/(\zeta \omega _{0})}$).

Характер движения затухающего осциллятора зависит от постоянной затухания ${\displaystyle \gamma }$. Помимо указанной постоянной, затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью. Добротность обычно обозначают буквой ${\displaystyle Q}$. По определению, добротность равна:

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{2\gamma }}.}$

Чем выше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

Критическое затухание ${\displaystyle \gamma =\omega _{0}}$ примечательно тем, что именно при таком затухании осциллятор быстрее всего оказывается в положении равновесия. Если трение меньше критического, он дойдёт до положения равновесия быстрее, однако «проскочит» его по инерции и будет совершать колебания. Если трение больше критического, то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение.

Поэтому в стрелочных индикаторах (например, в амперметрах) обычно стараются ввести именно критическое затухание, чтобы стрелка успокаивалась максимально быстро для считывания его показаний.

У осциллятора с критическим затуханием добротность равна 0,5. Соответственно, добротность указывает характер поведения осциллятора. Если добротность больше 0,5, то свободное движение осциллятора представляет собой колебания; теоретически, со временем он пересечёт положение равновесия неограниченное количество раз. Добротность, меньшая или равная 0,5, соответствует неколебательному движению осциллятора; в свободном движении он пересечёт положение равновесия не более одного раза.

Добротность иногда называют коэффициентом усиления осциллятора, так как при некоторых способах возбуждения при совпадении частоты возбуждения с резонансной частотой колебаний их амплитуда устанавливается примерно в ${\displaystyle Q}$ раз больше, чем при возбуждении с той же интенсивностью на низкой частоте.

Также добротность примерно равна количеству колебательных циклов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в ${\displaystyle e}$ раз, умноженному на ${\displaystyle \pi }$.

В случае колебательного движения затухание ещё характеризуют такими параметрами, как:

• Время жизни колебаний (оно же время затухания, оно же время релаксации) τ — время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.

${\displaystyle \tau =1/\gamma .}$

Это время рассматривается как время, необходимое для затухания (прекращения) колебаний (хотя, формально, свободные колебания продолжаются бесконечно долго).

• Логарифмический декремент затухания. Определяется как логарифм отношения двух последовательных максимальных отклонений в одну сторону: ${\displaystyle d=\operatorname {ln} (x_{{\text{max}}\;n}/x_{{\text{max}}\;n+1}).}$ Величина, обратная d, есть количество колебаний, которое пройдёт за время затухания τ.