Дифференциальное исчисление

Пусть функция ${\displaystyle g(h)}$ определена в окрестности ${\displaystyle h=0}$ и для любого ${\displaystyle \epsilon }$ > 0 найдётся такое ${\displaystyle \delta }$, что

${\displaystyle |g(h)/h^{n}|<\epsilon }$, лишь только ${\displaystyle |h|<\delta ,}$

тогда говорят, что ${\displaystyle g(h)}$ — бесконечно малое порядка ${\displaystyle o(h^{n})}$.

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — вещественнозначная функция, заданная на отрезке ${\displaystyle (a,b)}$. Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале ${\displaystyle (a,b)}$, если

${\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+{\frac {1}{2!}}f''(x)h^{2}+\dots {\frac {1}{n!}}f^{(n)}(x)h^{n}+o(h^{n})}$

для любого ${\displaystyle x\in (a,b)}$ и любого ${\displaystyle n}$. Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке ${\displaystyle (a,b)}$ функции образуют кольцо гладких функций ${\displaystyle C^{\infty }(a,b)}$.

Коэффициенты ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$

${\displaystyle f^{(m)}(x+h)=f^{(m)}(x)+f^{(m+1)}(x)h+\dots {\frac {1}{n!}}f^{(m+n)}(x)h^{n}+o(h^{n})}$

Эти функции называют производными функции ${\displaystyle f(x)}$. Первая производная может быть вычислена как предел

${\displaystyle f'(x)=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$.

Оператор, сопоставляющий функции ${\displaystyle f(x)}$ её производную ${\displaystyle f'(x)}$ обозначают как

${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$

При этом для двух гладких функций f и g верно

${\displaystyle D(f+g)=Df+Dg}$ и ${\displaystyle D(fg)=fDg+gDf}$

Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.

Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке ${\displaystyle (a,b)}$, является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Прямая

${\displaystyle y=f(c)+f'(c)(x-c)}$

пересекает кривую

${\displaystyle y=f(x)}$

в точке ${\displaystyle (c,f(c))}$ таким образом, что знак выражения

${\displaystyle f(x)-f(c)-f'(c)(x-c)={\frac {1}{2}}f''(c)(x-c)^{2}+o((x-c)^{2})}$

при условии ${\displaystyle f''(c)\not =0}$ всё время остаётся одним и тем же, поэтому кривая

${\displaystyle y=f(x)}$

лежит по одну сторону от прямой

${\displaystyle y=f(c)+f'(c)(x-c)}$

Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке ${\displaystyle x=c}$ (по Б. Кавальери). Точку ${\displaystyle x=c}$, в которой кривая

${\displaystyle y=f(x)}$

не лежит по одну сторону от прямой

${\displaystyle y=f(c)+f'(c)(x-c)}$

называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.

Точка ${\displaystyle x=c}$ называется точкой локального максимума (минимума), если

${\displaystyle f(c)-f(c+h)>0\quad (f(c)-f(c+h)<0)}$

для всех достаточно малых по модулю ${\displaystyle h}$. Из соотношения

${\displaystyle f'(c)h+{\frac {1}{2}}f''(c)h^{2}+o(h^{2})<0}$

сразу видно, что ${\displaystyle f'(c)=0}$ — необходимое условие максимума, а ${\displaystyle f''(c)<0}$ — достаточное условие максимума. Условие ${\displaystyle f''(c)=0}$ выделяет точки максимума, минимума и перегиба.

Пусть ${\displaystyle f}$ определена и на концах интервала ${\displaystyle [a,b]}$; говорят, что она непрерывна на ${\displaystyle [a,b]}$, если для любого ${\displaystyle \epsilon }$ найдётся такое ${\displaystyle \delta }$, что

${\displaystyle |f(x)-f(x+h)|<\epsilon }$, лишь только ${\displaystyle |h|<\delta ,}$

и точки ${\displaystyle x,\,x+h}$ не выходят за границы интервала ${\displaystyle [a,b]}$. Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывные на интервале ${\displaystyle [a,b]}$ функции образуют кольцо непрерывных функций ${\displaystyle C[a,b]}$.

В XII веке математик Шарафуддин ат-Туси тюрко-монгольского государства Хулагу был первым, кто нашел производную от кубической функции, важный результат в дифференциальном исчислении. Был написан "Трактат об уравнениях", в котором были разработаны концепции, связанные с дифференциальным исчислением, такие, как производная функции и максимумы и минимумы кривых, для решения кубических уравнений, которая не может иметь положительного решения.

Кольцо непрерывных на ${\displaystyle [a,b]}$ и гладких на ${\displaystyle (a,b)}$ функций обладает рядом важных свойств:

• Теорема Ролля: если ${\displaystyle f(a)=f(b)}$, то имеется точка ${\displaystyle c\in (a,b)}$ максимума или минимума, в которой ${\displaystyle f'}$ обращается в нуль.
• Теорема Лагранжа: существует такая точка ${\displaystyle c\in (a,b)}$, что

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)}$

• Теорема Коши: если ${\displaystyle g'\not =0}$ на ${\displaystyle (a,b)}$, то существует такая точка ${\displaystyle c\in (a,b)}$, что

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}$

Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезке ${\displaystyle (a',b')\subset (a,b)}$ найдутся такие точки ${\displaystyle c_{n}}$, что

${\displaystyle f(b')=f(a')+f'(a')(b'-a')+{\frac {1}{2!}}f''(a')(b'-a')^{2}+\dots {\frac {1}{n!}}f^{(n)}(a')(b'-a')^{n}+R_{n}}$

где

${\displaystyle R_{n}={\frac {1}{(n+1)!}}f^{(n+1)}(c_{n})(b'-a')^{n+1}}$

При помощи этой формулы можно приближённо вычислять значения функции в точке ${\displaystyle b'}$ по известным значениям функции и её производных в точке ${\displaystyle a'}$.

Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если ${\displaystyle f(b)=g(b)=0}$ или ${\displaystyle f(b)=g(b)=\infty }$, и ${\displaystyle g'\not =0}$ на ${\displaystyle (a,b)}$, то

${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow b-0}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{x\rightarrow b-0}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$

причём существование второго предела влечёт существование первого.