Анализ функций многих переменных

Исследование пределов и непрерывности в многомерных пространствах приводит ко многим нелогичным и патологическим результатам, не свойственным функциям одной переменной. Например, существуют скалярные функции двух переменных, имеющих точки в области определения, которые при приближении вдоль произвольной прямой дают специфический предел, и дают другой предел при приближении вдоль параболы. Функция

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}}$

стремится к нулю по любой прямой, проходящей через начало координат. Однако, когда к началу координат приближаются вдоль параболы ${\displaystyle y=x^{2}}$, предел = 0.5. Так как пределы по разным траекториям не совпадают, предела не существует.

Функция ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ имеет пределом число A при стремлении переменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, соответственно, к ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$, если для каждого числа ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдется такое число ${\displaystyle \delta >0}$, что ${\displaystyle |f(x_{1},\ldots ,x_{n})-A)|<\varepsilon }$, то есть ${\displaystyle |x_{1}-a_{1}|<\delta ,\ldots ,|x_{n}-a_{n}|<\delta }$.

Функция ${\displaystyle u=f(M)}$ называется непрерывной в точке ${\displaystyle A}$, если предельное значение этой функции в точке ${\displaystyle A}$ существует и равно частному значению ${\displaystyle f(A)}$.

Функция ${\displaystyle u=f(M)}$ называется непрерывной на множестве ${\displaystyle {M}}$, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Понятие частной производной неизбежно возникает при попытке дифференцирования многомерных функции и в геометрическом смысле является производной от её части, на пересекающей в точке определения плоскости, которая в случае рассмотрения декартовой прямоугольной системы координат параллельна плоскости (O,${\displaystyle x_{k}}$,f), где О — точка пересечения координатных осей; ${\displaystyle x_{k}}$ — частный аргумент точки дифференцирования; f — ордината точки. Рассматриваемая производная n-мерной функции будет обозначается как ${\displaystyle {\frac {\partial f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{\partial x_{k}}}}$, что есть её дифференцирование по одному из аргументов:

${\displaystyle {\frac {\partial f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{\partial x_{k}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{1}~...~x_{k}+\Delta x_{k}~...~x_{n})-f(x_{1}~...~x_{k}~...~x_{n})}{\Delta x_{k}}},}$

где ${\displaystyle x_{k}}$ — определенный аргумент; а символ ${\displaystyle \partial }$ является видоизмененной записью ${\displaystyle d_{x}}$ и отдельно не употребляется.

Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных. В векторном исчислении оператор набла (${\displaystyle \nabla }$) используется для определения понятий градиента, дивергенции, и ротора с точки зрения частных производных. Матрица частных производных — матрица Якоби — может использоваться для представления производной функции (отображения) между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом производная может быть представлена как линейное преобразование, которое изменяется в зависимости от точки из области определения функции.

Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называют дифференциальными уравнениями в частных производных или (Д)УЧП. Эти уравнения как правило сложнее для решения чем обычные дифференциальные уравнения, которые содержат производные относительно только одной переменной.

Интеграл ${\displaystyle \underbrace {\int {\cdots }\int } _{X}f(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\ldots dx_{n}}$ называется кратным интегралом, если ${\displaystyle n>1}$. В случае ${\displaystyle n=2}$ он называется двойным, в случае ${\displaystyle n=3}$ — тройным интегралом, а в случае произвольного ${\displaystyle n\in N}$ — n-кратным. Его обозначают также ${\displaystyle \int \limits _{X}f(x)dx}$. При такой записи под символом ${\displaystyle x}$ следует понимать точку ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ пространства ${\displaystyle E^{n}}$, под символом ${\displaystyle dx}$ — произведение ${\displaystyle dx=dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}}$, а под знаком ${\displaystyle \int \limits _{D}}$ — n-кратный интеграл по n-мерной области ${\displaystyle D}$.

Кратный интеграл расширяет понятие интеграла на функции многих переменных. Двойные интегралы могут использоваться для вычисления объемов областей в пространстве. Теорема Тонелли — Фубини гарантирует, что кратный интеграл может быть вычислен как повторный интеграл.

Поверхностный интеграл и криволинейный интеграл используются для интегрирования по многообразиям, таким как поверхности и кривые.

В математическом анализе функций одной переменной фундаментальная теорема устанавливает связь между производной и интегралом. Связь между производной и интегралом в анализе функций многих переменных воплощена в известных теоремах интегрирования векторного анализа:

• Теорема Ньютона — Лейбница
• Теорема Стокса
• Теорема Остроградского — Гаусса
• Теорема Грина

При более углубленном изучении многомерного математического анализа видно, что эти четыре теоремы — частные случаи более общей теоремы, теоремы Стокса об интегрировании дифференциальных форм.