Поверхностные интегралы

Пусть ${\displaystyle \Phi }$ — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на ${\displaystyle \Phi }$ задана функция ${\displaystyle f(M)=f(x,y,z)}$. Рассмотрим разбиение ${\displaystyle T}$ этой поверхности на части ${\displaystyle \Phi _{i}\ (i=1,\dots ,n)}$ кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку ${\displaystyle M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})}$. Вычислив значение функции в этой точке ${\displaystyle f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})}$ и, приняв за ${\displaystyle \sigma _{i}}$ площадь поверхности ${\displaystyle \Phi _{i}}$, рассмотрим сумму

${\displaystyle I\{\Phi _{i},M_{i}\}=\sum _{i}f(M_{i})\sigma _{i}.}$

Тогда число ${\displaystyle I}$ называется пределом сумм ${\displaystyle I\{\Phi _{i},M_{i}\}}$, если

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall T:d(T)<\delta \ \forall \{M_{i}\}\ {\bigl |}I\{\Phi _{i},M_{i}\}-I{\bigr |}<\varepsilon .}$

Предел ${\displaystyle I}$ сумм ${\displaystyle I\{\Phi _{i},M_{i}\}}$ при ${\displaystyle d(T)\to 0}$ называется поверхностным интегралом первого рода от функции ${\displaystyle f(M)}$ по поверхности ${\displaystyle \Phi }$ и обозначается следующим образом:

${\displaystyle I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,d\sigma .}$

Пусть на поверхности ${\displaystyle \Phi }$ можно ввести единую параметризацию посредством функций

${\displaystyle x=x(u,v),\quad y=y(u,v),\quad z=z(u,v),}$

заданных в ограниченной замкнутой области ${\displaystyle \Omega }$ плоскости ${\displaystyle (u,v)}$ и принадлежащих классу ${\displaystyle C^{1}}$ в этой области. Если функция ${\displaystyle f(M)=f(x,y,z)}$ непрерывна на поверхности ${\displaystyle \Phi }$, то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности ${\displaystyle \Phi }$ существует и может быть вычислен по формуле

${\displaystyle I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,d\sigma =\iint \limits _{\Omega }f{\big (}x(u,v),y(u,v),z(u,v){\big )}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv,}$

где:

${\displaystyle E=(x_{u}')^{2}+(y_{u}')^{2}+(z_{u}')^{2},}$

${\displaystyle F=x_{u}'x_{v}'+y_{u}'y_{v}'+z_{u}'z_{v}',}$

${\displaystyle G=(x_{v}')^{2}+(y_{v}')^{2}+(z_{v}')^{2}.}$

Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности. Пусть функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ интегрируемы по областям ${\displaystyle \Phi ,\Phi _{1},\Phi _{2}}$. Тогда:

1. Линейность: ${\displaystyle \iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,d\sigma =\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma +\beta \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma }$ для любых вещественных чисел ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$.
2. Аддитивность: ${\displaystyle \iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma +\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma =\iint \limits _{\Phi _{1}\cup \Phi _{2}}f\,d\sigma }$ при условии, что ${\displaystyle \Phi _{1}}$ и ${\displaystyle \Phi _{2}}$ не имеют общих внутренних точек.
3. Монотонность:
   • если ${\displaystyle f\geqslant g}$, то ${\displaystyle \iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma \geqslant \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma }$;
   • для ${\displaystyle f\geqslant 0}$, если ${\displaystyle \Phi _{1}\subset \Phi _{2}}$, то ${\displaystyle \iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma <\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma }$.
4. Теорема о среднем для непрерывной функции ${\displaystyle f}$ и замкнутой ограниченной поверхности ${\displaystyle \Phi }$:

   ${\displaystyle \iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma =f(\xi )\iint \limits _{\Phi }d\sigma =f(\xi )\mu (\Phi )}$, где ${\displaystyle \xi \in \Phi }$, а ${\displaystyle \mu (\Phi )}$ — площадь области ${\displaystyle \Phi }$.

Рассмотрим двустороннюю поверхность ${\displaystyle \Phi }$, гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух её сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением ${\displaystyle z=z(x,y)}$ причём точка ${\displaystyle (x,y)}$ изменяется в области ${\displaystyle (D)}$ на плоскости ${\displaystyle xy}$, ограниченной кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности ${\displaystyle \Phi }$ определена некоторая функция ${\displaystyle f(M)=f(x,y,z)}$. Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части ${\displaystyle \Phi _{i}\ (i=1,\dots ,n)}$ и выбрав на каждой такой части точку ${\displaystyle M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})}$, вычислим значение функции ${\displaystyle f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})}$ в данной точке и умножим его на площадь ${\displaystyle D_{i}}$ проекции на плоскость ${\displaystyle xy}$ элемента ${\displaystyle \Phi _{i}}$, снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(M_{i})D_{i}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i},z_{i})D_{i}.}$

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

${\displaystyle f(M)\,dx\,dy=f(x,y,z)\,dx\,dy,}$

распространённым на выбранную сторону поверхности ${\displaystyle \Phi }$, и обозначают символом

${\displaystyle I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,dx\,dy=\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dx\,dy}$

(здесь ${\displaystyle dx\,dy}$ напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость ${\displaystyle xy}$).

Если вместо плоскости ${\displaystyle xy}$ спроектировать элементы поверхности на плоскость ${\displaystyle yz}$ или ${\displaystyle zx}$, то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

${\displaystyle \iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dy\,dz}$ или ${\displaystyle \iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dz\,dx.}$

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

${\displaystyle \iint \limits _{\Phi }P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy,}$

где ${\displaystyle P,Q,R}$ суть функции от ${\displaystyle (x,y,z)}$, определённые в точках поверхности ${\displaystyle \Phi }$.

${\displaystyle \iint \limits _{\Sigma +}f(x,y,z)\,dy\,dz=\iint \limits _{\Sigma }f(x,y,z)\cos(\nu \wedge i)\,d\sigma ,}$

где ${\displaystyle \nu }$ — единичный вектор нормали поверхности ${\displaystyle \Sigma }$, ${\displaystyle i}$ — орт.

1. Линейность: ${\displaystyle \iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,dx\,dy=\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,dx\,dy+\beta \iint \limits _{\Phi }g\,dx\,dy}$.
2. Аддитивность: ${\displaystyle \iint \limits _{\Phi _{1}}f\,dx\,dy+\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,dx\,dy=\iint \limits _{\Phi _{1}+\Phi _{2}}f\,dx\,dy}$.
3. При изменении ориентации поверхности поверхностный интеграл меняет знак.