Интеграл Курцвейля — Хенстока

Первое определение интеграла, позволяющего решить задачу в общем случае, было дано Арно Данжуа в 1912 году. Он совершил попытку определить интеграл, позволивший бы интегрировать, например, производную функции ${\displaystyle f(x)=x^{2}\cos \left({\frac {\pi }{x^{2}}}\right)}$, доопределенной нулем в нуле. Функция ${\displaystyle \displaystyle f'(x)}$ определена и конечна во всех точках, но не интегрируема по Лебегу в окрестности нуля. В попытке создания общей теории Данжуа использовал трансфинитную индукцию по возможным типам особенностей, которые сделали определение довольно сложным. Чуть позже Николай Лузин упростил определение Данжуа, но даже и после упрощения это определение оставалось технически очень сложным. В 1914 году Оскаром Перроном дано другое определение интеграла, также позволяющее полностью решить задачу о восстановлении функции по её производной. Через 10 лет Павел Александров и Роберт Ломан установили тождественность интегралов Данжуа и Перрона.

В 1957 году чешский математик Ярослав Курцвейль предложил новое определение интеграла, также позволявшее полностью решить задачу о восстановлении функции по её производной. Его определение являлось модификацией определения интеграла Римана. Дальнейшая теория этого интеграла была разработана Ральфом Хенстоком, после его работ конструкция известна как интеграл Курцвейля — Хенстока. Этот интеграл также тождественен интегралам Данжуа и Перрона и тем самым, в одномерном случае, покрывает интеграл Лебега.

По причине простоты определения интеграла Хенстока — Курцвейля некоторые преподаватели выступают за то, чтобы ввести его в программу начального курса математического анализа, но пока эта идея частично реализована лишь на механико-математических факультетах Московского государственного университета и Саратовского государственного университета.

Для определения интеграла Курцвейля — Хенстока вводится несколько промежуточных понятий:

• калибровочная функция (масштаб)— произвольная функция ${\displaystyle \delta \colon [a,b]\to (0,\infty )}$;
• отмеченное разбиение ${\displaystyle P}$ отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ — конечный набор пар ${\displaystyle \displaystyle (\xi _{k},[x_{k-1},x_{k}])}$, где ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b}$ и ${\displaystyle \xi _{k}\in [x_{k-1},x_{k}]}$;
• отмеченное разбиение ${\displaystyle P}$ называется ${\displaystyle \delta }$-тонким (согласованным с ${\displaystyle \delta }$), если ${\displaystyle \xi _{k}-\delta (\xi _{k})<x_{k-1}\leqslant \xi _{k}\leqslant x_{k}<\xi _{k}+\delta (\xi _{k})}$ при всех ${\displaystyle k}$ от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle n}$;
• для отмеченного разбиения ${\displaystyle P}$ и функции ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ интегральной суммой называется выражение:

  ${\displaystyle S(P,f)=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})f(\xi _{k})}$.

Функция ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ называется интегрируемой по Курцвейлю — Хенстоку на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, если существует число ${\displaystyle I}$ (называемое интегралом Курцвейля — Хенстока от функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$), обладающее следующим свойством: для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такая калибровочная функция ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }}$, что для любого согласованного с ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }}$ отмеченного разбиения ${\displaystyle P}$ имеет место неравенство ${\displaystyle |S(P,f)-I|<\varepsilon }$.

Существование согласованных с ${\displaystyle \delta }$ отмеченных разбиений для данной калибровочной функции ${\displaystyle \delta }$ следует из теоремы Кузена (англ. Cousin's theorem).

Интеграл Римана является частным случаем интеграла Курцвейля — Хенстока, в его определении допускаются только постоянные калибровочные функции.

• Лукашенко Т. П., Скворцов В. А., Солодов А. П. Обобщенные интегралы 2010. 280 с. ISBN 978-5-397-00267-7

• Несобственный интеграл Римана и интеграл Хенстока в ${\displaystyle R^{n}}$, П. Мальдониa, В. А. Скворцов Матем. заметки, 2005, том 78, выпуск 2, страницы 251—258
• Обобщенные интегралы и ряды Фурье И. А. Виноградова, В. А. Скворцов Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анал. 1970, 1971, страницы 65-107