Трансфинитная индукция

Трансфинитная индукция основана на следующем утверждении:

Пусть ${\displaystyle M}$ — фундированное множество (то есть частично упорядоченное множество, в котором каждое непустое подмножество имеет минимальный элемент), ${\displaystyle P(x)}$ при ${\displaystyle x\in M}$ — некоторое утверждение. Пусть для любого ${\displaystyle x\in M}$ из того, что ${\displaystyle P(y)}$ истинно для всех ${\displaystyle y<x}$, следует, что верно ${\displaystyle P(x)}$. Тогда утверждение ${\displaystyle P(x)}$ верно для любого ${\displaystyle x}$.

Математическая индукция является частным случаем трансфинитной индукции. Действительно, пусть ${\displaystyle M}$ — множество натуральных чисел (частный случай вполне упорядоченного множества). Тогда утверждение трансфинитной индукции превращается в следующее: если для любого натурального ${\displaystyle n}$ из одновременной истинности утверждений ${\displaystyle P(1)}$, ${\displaystyle P(2)}$, ${\displaystyle \ldots }$, ${\displaystyle P(n-1)}$ следует истинность утверждения ${\displaystyle P(n)}$, то истинны все утверждения ${\displaystyle P(n)}$. При этом база индукции, то есть ${\displaystyle P(1)}$, оказывается тривиальным частным случаем при ${\displaystyle n=1}$.

Во многих случаях трансфинитная индукция используется совместно с теоремой Цермело, утверждающей, что любое множество можно вполне упорядочить. Теорема Цермело эквивалентна аксиоме выбора, поэтому доказательство получается неконструктивным.

В качестве примера докажем, что можно провести некоторое множество окружностей так, чтобы через каждую точку плоскости проходило ровно 2 окружности. (В данном случае можно привести и явную конструкцию, однако для случая трёх окружностей доказательство ниже лишь слегка изменяется, а явная конструкция пока неизвестна).

Вполне упорядочим точки плоскости так, чтобы мощность множества точек, меньших ${\displaystyle x}$, была меньше, чем континуум (можно показать, что любое множество можно вполне упорядочить так, чтобы для любого его элемента множество меньших его имело меньшую мощность). В качестве ${\displaystyle P(x)}$ возьмём следующее утверждение: можно провести менее чем континуальное множество различных окружностей так, чтобы каждая точка, меньшая или равная ${\displaystyle x}$, была покрыта ровно 2 окружностями, а остальные точки были покрыты не более чем двумя окружностями, а также для любой точки ${\displaystyle y<x}$ это множество можно выбрать таким, чтобы оно содержало множество окружностей для точки ${\displaystyle y}$. Если ${\displaystyle x}$ — минимальная точка, то возьмём любые 2 различные окружности, проходящие через эту точку. Утверждение ${\displaystyle P(x)}$ для минимального ${\displaystyle x}$ доказано. Пусть теперь ${\displaystyle x}$ — любая точка и известно, что утверждение верно для любого ${\displaystyle y<x}$. Возьмём объединение наборов окружностей для всех точек ${\displaystyle y<x}$. По предположению индукции можно считать, что наборы окружностей для больших точек включают наборы окружностей для меньших точек, поэтому полученный набор будет покрывать точки плоскости не более двух раз. Так как множество элементов, меньших ${\displaystyle x}$, меньшее, чем континуум, и каждое объединяемое множество меньше, чем континуум, то полученное множество будет также иметь мощность меньшую, чем континуум. Построенное множество окружностей уже 2 раза покрывает все точки, меньшие ${\displaystyle x}$.

Покажем теперь, как покрыть ${\displaystyle x}$. Через ${\displaystyle x}$ проходит континуум непересекающихся окружностей. Заметим, что любая пара окружностей пересекается не более чем в двух точках, а значит, мощность множества точек плоскости, покрытых 2 раза, меньше, чем континуум (здесь используется утверждение, что ${\displaystyle A\times A}$ равномощно ${\displaystyle A}$, если ${\displaystyle A}$ — бесконечное множество). Значит, найдётся континуум окружностей, на которых нет точек, покрытых 2 раза. Возьмём из них одну или две, в зависимости от количества окружностей, уже проходящих через точку ${\displaystyle x}$. Утверждение индукции доказано.

• Математическая индукция
• Трансфинитное число
• Вполне упорядоченное множество

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — М.: Мир, 1970. — 416 с.