Интегральное преобразование Абеля

Преобразование Абеля в двумерном случае ${\displaystyle F(y)}$ может рассматриваться как проекция осесимметричной функции ${\displaystyle f(r)}$ вдоль параллельных линий, проходящих на расстоянии ${\displaystyle y}$ от оси. Согласно рисунку справа, наблюдатель (I) увидит величину

${\displaystyle F(y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx,}$

где ${\displaystyle f(r)}$ — осесимметричная функция, изображенная на рисунке при помощи серого цвета. Предполагается, что наблюдатель находится при ${\displaystyle x=\infty }$ и таким образом пределы интегрирования равны ${\displaystyle \pm \infty }$. Все линии наблюдения параллельны оси ${\displaystyle x}$.

Замечая, что радиус ${\displaystyle r}$ соотносится с ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ как ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$, получаем, что

${\displaystyle dx={\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}$

Так как переменная ${\displaystyle r}$ при интегрировании не меняет знака, то подынтегральное выражение (как ${\displaystyle f(r)}$, так и выражение для ${\displaystyle dx}$) является чётной функцией. Поэтому можно записать:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx=2\int \limits _{0}^{\infty }f(r)\,dx.}$

Замена переменной ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle r}$ даёт формулу преобразования Абеля:

${\displaystyle F(y)=2\int \limits _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}$

Преобразование Абеля можно обобщить на случай большего числа измерений. Особенно интересен случай трёх измерений. В случае осесимметричной функции ${\displaystyle f(\rho ,\;z)}$, где ${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}}$ является радиусом в цилиндрических координатах, можно спроектировать функцию на плоскость, параллельную оси ${\displaystyle z}$. Без потери общности можно взять плоскость, параллельную плоскости ${\displaystyle yz}$. При этом:

${\displaystyle F(y,\;z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\rho ,\;z)\,dx=\int \limits _{y}^{\infty }{\frac {f(\rho ,\;z)\rho \,d\rho }{\sqrt {\rho ^{2}-y^{2}}}},}$

что является преобразованием Абеля для ${\displaystyle f(\rho ,\;z)}$ в переменных ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle y}$.

Частным случаем осевой симметрии является сферическая симметрия. В этом случае имеется функция ${\displaystyle f(r)}$, где ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.

Проекция на плоскость ${\displaystyle yz}$ будет иметь круговую симметрию, которую можно записать как ${\displaystyle F(s)}$, где ${\displaystyle s^{2}=y^{2}+z^{2}}$. Производя интегрирование, получим:

${\displaystyle F(s)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx=\int \limits _{s}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-s^{2}}}},}$

что опять является преобразованием Абеля для ${\displaystyle f(r)}$ в переменных ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle s}$.

Преобразование Абеля является членом так называемого цикла Фурье — Ханкеля — Абеля. Например для случая двух измерений, если обозначить через ${\displaystyle A}$ преобразование Абеля, ${\displaystyle F}$ — преобразование Фурье и через ${\displaystyle H}$ — преобразование Ханкеля нулевого порядка, то для функций с круговой симметрией будет выполняться равенство:

${\displaystyle FA=H,}$

то есть если применить к одномерной функции сначала преобразование Абеля, а затем преобразование Фурье, то результат будет тот же, как после применения к функции преобразования Ханкеля.